算法分析基础——几类常见的函数

在分析算法时，常用的几类函数主要包括对数函数、指数函数、阶乘函数、取整函数。下文总结了一下这几类函数的阶的性质。

一、对数函数

性质1. log₂N = Θ(logN)

证明 用换底公式即得证。

这一性质解释了为何，对于指数函数而言，在分析阶的关系时，可以不去考虑底数。

性质2. log_bN = ο(N^α), α > 0

证明 由ln(n) = ο(n^α)，再结合性质1，即得证。

性质3. a^log_bn = n^log_ba

证明 由 (log_bn)(log_ba) = (log_ba)(log_bn)，再取b的指数，即得证。

 

二、指数函数与阶乘

 

（Sirling公式）

 

 

 

由这一公式，可以得到以下关系：

性质1. n! = ο(nⁿ)

性质2. n! = ω(2ⁿ)

另外，对于阶乘函数取对数，我们还有下述性质：

性质3. log(n!) = Θ(nlogn)

证明 由

 

知 log(n!) = Ω(nlogn)。另一方面，由

知 log(n!) = O(nlogn)。

综上可知，log(n!) = Θ(nlogn)。证毕。

 

三、取整函数

取整函数的主要性质如下：

 

性质1. x - 1 < floor(x) ≤ x ≤ ceil(x) < x + 1

 

性质2. ceil(x + n) = ceil(x) + n, n为正整数

 

性质3. ceil(ceil(n / a) / b) = ceil(n / (ab)), floor(floor(n / a) / b) = floor(n / (ab)).

 

证明过程是简单的，此处就省略了。值得注意的是，在二分查找与归并排序是，取的轴值皆是由向下取整函数得到。