算法分析与实践-作业12

图的m着色问题

1. 问题

       图的m着色问题。给定无向连通图G和m种颜色，用这些颜色给图的顶点着色，每个顶点一种颜色。如果要求G的每条边的两个顶点着不同颜色。给出所有可能的着色方案；如果不存在，则回答”NO”。

2. 解析

       考虑所有的图，讨论在至多使用m种颜色的情况下，可对一给定的图着色的所有不同方法。通过回溯的方法，不断的为每一个节点着色，在前面n-1个节点都合法的着色之后，开始对第n个节点进行着色，这时候枚举可用的m个颜色，通过和第n个节点相邻的节点的颜色，来判断这个颜色是否合法，如果找到那么一种颜色使得第n个节点能够着色，那么说明m种颜色的方案是可行的。

       用m种颜色为无向图G=(V,E)着色，其中，V的顶点个数为n，可以用一个n元组x=(col1,col2,…,coln)来描述图的一种可能着色，其中，xi∈{1, 2, …, m}，(1≤i≤n)表示赋予顶点i的颜色。例如，5元组(1, 2, 2, 3, 1)表示对具有5个顶点的无向图（a）的一种着色，顶点A着颜色1，顶点B着颜色2，顶点C着颜色2，如此等等。如果在n元组X中，所有相邻顶点都不会着相同颜色，就称此n元组为可行解，否则为无效解。容易看出，每个顶点可着颜色有m种选择，n个顶点就有mn种不同的着色方案，问题的解空间是一棵高度为n的完全m叉树，这里树高度的定义为从根节点到叶子节点的路径的长度。每个分支结点，都有m个儿子结点。最底层有mⁿ个叶子结点。

3. 设计

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int maxn = 100 + 10;

int n, m, match;       //图的顶点数，可用的颜色数量，边的数量
int c[maxn][maxn];  //图的链接矩阵
int col[maxn];          //当前的解
int sum = 0;            //方案数

bool Same(int t) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (c[t][i] == 1 && col[i] == col[t])
            return false;
    }
    return true;
}

void BackTrack(int t) {
    if (t > n) {
        sum++;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            printf("%d ", col[i]);
        printf("\n");
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            col[t] = i;
            if (Same(t))BackTrack(t + 1);
            col[t] = 0;
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &m);
    scanf("%d %d", &n, &match);
    for (int i = 1; i <= match; ++i) {
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        c[x][y] = c[y][x] = 1;
    }
    BackTrack(1);
    if (sum == 0)printf("NO\n");
else printf("%d\n", sum);
}

5. 源码

https://github.com/JayShao-Xie/algorithm-work/blob/master/Mcolors.cpp