HDU-2802-F(N)
看到这题讨论版里有说用公式的有说用循环节的，但是个人觉得这两种方法都不靠谱，比赛场上做这种题能直接推出公式需要很强数学功底，而循环节的方法如果循环节比较大就不太好发现了。这种已知通项公式的题还是用矩阵快速幂比较通用，但同是矩阵快速幂，对于这题，也有很大的差异；
注：memmove这个函数可能不太常见，但还是比较好用的，可以用较低的时间复杂度完成数组的拷贝
- 方法一
Time Limit Exceeded 2802 1000MS 1348K 1734 B G++ #include "bits/stdc++.h" using namespace std; const int MOD = 2009; /* {f(n - 1), f(n - 2), n ^ 3, (n - 1) ^ 3, n ^ 2, n, 1} 乘MAT得到 {f(n), f(n - 1), (n + 1) ^ 3, n ^ 3, (n + 1) ^ 2, n + 1, 1} */ const int MAT[][7] = { {0, 1, 1, -1, 0, 0, 0}, {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 0, 3, 3, 1}, {0, 0, 1, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 1, 2, 1}, {0, 0, 0, 0, 0, 1, 1}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 1} }; const int TABLE[] = {7, 1, 27, 8, 9, 3, 1}; struct Mat { int mat[7][7]; Mat() { memset(mat, 0, sizeof(mat)); } friend Mat operator * (Mat n, Mat m) { Mat res; for (int k = 0; k < 7; k++) for (int i = 0; i < 7; i++) for (int j = 0; j < 7; j++) { res.mat[i][j] += n.mat[i][k] * m.mat[k][j]; // 因为当n >=0 时 (n + 1) ^ 3 一定大于 n ^ 3,所以要保证结果是正数; res.mat[i][j] = (res.mat[i][j] % MOD + MOD) % MOD; } return res; } } m; Mat mat_pow(Mat n, int k) { Mat res; for (int i = 0; i < 7; i++) { res.mat[i][i] = 1; } while (k) { if (k & 1) { res = res * n; } n = n * n; k >>= 1; } return res; } int main() { int n; while (scanf("%d", &n) && n) { if (n == 1) { puts("1"); continue; } if (n == 2) { puts("7"); continue; } memmove(m.mat, MAT, sizeof(m.mat)); m = mat_pow(m, n - 2); int res = 0; for (int i = 0; i < 7; i++) { res = (res + m.mat[0][i] * TABLE[i]) % MOD; } printf("%d\n", res); } return 0; }
这是拿到题直接把递推式拿来套的解法，7层矩阵，超时。于是想到n ^ 3 - (n - 1) ^ 3 = (n - 1) ^ 3 + 3 * (n - 1) ^ 2 + 3 * (n - 1) + 1 - (n - 1) ^ 3;可以抵消(n - 1) ^ 3;
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方法二
Accepted 2802 889MS 1384K 1462 B G++ #include "bits/stdc++.h" using namespace std; const int MOD = 2009; /* {f(n - 1), f(n - 2), n ^ 2, n, 1} 乘MAT得到 {f(n), f(n - 1), (n + 1) ^ 2, n + 1, 1} */ const int MAT[][5] = { {0, 1, 3, 3, 1}, {1, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 2, 1}, {0, 0, 0, 1, 1}, {0, 0, 0, 0, 1} }; const int TABLE[] = {7, 1, 4, 2, 1}; struct Mat { int mat[5][5]; Mat() { memset(mat, 0, sizeof(mat)); } friend Mat operator * (Mat n, Mat m) { Mat res; for (int k = 0; k < 5; k++) for (int i = 0; i < 5; i++) for (int j = 0; j < 5; j++) res.mat[i][j] = (res.mat[i][j] + n.mat[i][k] * m.mat[k][j]) % MOD; return res; } } m; Mat mat_pow(Mat n, int k) { Mat res; for (int i = 0; i < 5; i++) { res.mat[i][i] = 1; } while (k) { if (k & 1) { res = res * n; } n = n * n; k >>= 1; } return res; } int main() { int n; while (scanf("%d", &n) && n) { if (n == 1) { puts("1"); continue; } if (n == 2) { puts("7"); continue; } memmove(m.mat, MAT, sizeof(m.mat)); m = mat_pow(m, n - 2); int res = 0; for (int i = 0; i < 5; i++) { res = (res + m.mat[0][i] * TABLE[i]) % MOD; } printf("%d\n", res); } return 0; }
降到5层矩阵之后能AC掉这题了，但是这个矩阵还不是最好的。这个代码的效率还是不高。
- 方法三
Accepted 2802 483MS 1392K 1551 B G++ #include "bits/stdc++.h" using namespace std; const int MOD = 2009; /* {f(n - 2), (n + 1) ^ 2, (n + 1), 1} 乘MAT得到 {f(n), (n + 3) ^ 2, n + 3, 1} */ const int MAT[][4] = { {1, 3, 3, 1}, {0, 1, 4, 4}, {0, 0, 1, 2}, {0, 0, 0, 1} }; const int TABLE1[] = {1, 4, 2, 1}; const int TABLE2[] = {7, 9, 3, 1}; struct Mat { int mat[4][4]; Mat() { memset(mat, 0, sizeof(mat)); } friend Mat operator * (Mat n, Mat m) { Mat res; for (int k = 0; k < 4; k++) for (int i = 0; i < 4; i++) for (int j = 0; j < 4; j++) res.mat[i][j] = (res.mat[i][j] + n.mat[i][k] * m.mat[k][j]) % MOD; return res; } } m; Mat mat_pow(Mat n, int k) { Mat res; for (int i = 0; i < 4; i++) { res.mat[i][i] = 1; } while (k) { if (k & 1) { res = res * n; } n = n * n; k >>= 1; } return res; } int main() { int n; while (scanf("%d", &n) && n) { if (n == 1) { puts("1"); continue; } if (n == 2) { puts("7"); continue; } memmove(m.mat, MAT, sizeof(m.mat)); m = mat_pow(m, n - 1 >> 1); int res = 0; /* 假设重定义两个函数，a(n) = f(2 * n - 1), b(n) = f(2 * n); if (n & 1) 求得a((n - 1) >> 1)即为 f(n) else 求得b((n - 1) >> 1) 即为f(n) */ if (n & 1) { for (int i = 0; i < 4; i++) { res = (res + m.mat[0][i] * TABLE1[i]) % MOD; } } else { for (int i = 0; i < 4; i++) { res = (res + m.mat[0][i] * TABLE2[i]) % MOD; } } printf("%d\n", res); } return 0; }
递推式是从f(n)直接到f(n + 2)的，所以相当于把f拆成两个函数分开讨论，只用4层矩阵就够了。对于矩阵快速幂，4层应该是最少的了。如果还要再快，那就只能采取循环节或公式的方式了。
- 方法四(来自讨论版，代码省略)
这题的循环节是4018(正好是MOD的两倍，不知道是不是巧合)。
- 方法五(来自讨论版，代码省略)
n为奇数 （n+1）(n+1)(2n-1)/4; n为偶数 n*n*(2n+3)/4
