最小生成树 HihoCoder-1097、1098、1109(最小生成树算法)

太久没写最小生成树了，快忘光了。这几天回顾了一下

• 最小生成树一·Prim算法

  AC

  G++

  369ms

  17MB

  #include "cstdio"
  using namespace std;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  int road[1005][1005];
  int dis[1005], n, ans;
  bool vis[1005];
  void prim() {
      int v, mn;
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
          dis[i] = road[1][i];
      }
      vis[1] = true;
      for (int i = 1; i < n; i++) {
          mn = INF;
          for (int j = 1; j <= n; j++) {
              if (!vis[j] && dis[j] < mn) {
                  mn = dis[j];
                  v = j;
              }
          }
          ans += dis[v];
          vis[v] = true;
          for (int j = 1; j <= n; j++) {
              if (!vis[j] && dis[j] > road[v][j]) {
                  dis[j] = road[v][j];
              }
              /*
              这个if改成如下写法就变成Dijkstra算法求最短路了
              if (!vis[j] && dis[j] > dis[v] + road[v][j]) {
                  dis[j] = dis[v] + road[v][j];
              }
              */
          }
      }
  }
  int main() {
      scanf("%d", &n);
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
          for (int j = 1; j <= n; j++) {
              scanf("%d", &road[i][j]);
          }
      }
      prim();
      printf("%d\n", ans);
      return 0;
  }

  理解了Dijkstra看这个就很容易了，改一下if语句多加一个ans就是了；

• 最小生成树二·Kruscal算法

  AC

  G++

  342ms

  17MB

  #include "bits/stdc++.h"
  using namespace std;
  typedef long long LL;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  // 并查集
  int pre[100005];
  struct Road{
      int s, e, v;
  }road[1000005];
  bool cmp(Road n, Road m) {
      return n.v < m.v;
  }
  int find(int id) {
      if (pre[id] == 0) {
          return id;
      }
      return pre[id] = find(pre[id]);
  }
  int main() {
      int n, m, ans = 0;
      scanf("%d%d", &n, &m);
      for (int i = 0; i < m; i++) {
          scanf("%d%d%d", &road[i].s, &road[i].e, &road[i].v);
      }
      sort (road, road + m, cmp);
      // 用n - 1条边可以联通n个点，所以当n == 1的时候退出循环
      for (int i = 0; n != 1; i++) {
          int s = find(road[i].s);
          int e = find(road[i].e);
          if (s != e) {
              pre[s] = e;
              n--;
              ans += road[i].v;
          }
      }
      printf("%d\n", ans);
      return 0;
  }

  Kruscal算法有点贪心的意思在里面吧，每次取最短的边，当n个点被联通时退出循环

• 最小生成树三·堆优化的Prim算法

  AC

  G++

  436ms

  24MB

  #include "bits/stdc++.h"
  using namespace std;
  typedef long long LL;
  typedef pair<int, int> PII;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  const int MAXN = 1e5 + 5;
  /* 
  road[i].first 存放以i为顶点的边的另一个顶点
  road[i].second 存放以i为顶点的边的长度
  */
  vector<PII> road[MAXN];
  int dis[MAXN];
  int ans;
  bool vis[MAXN];
  void prim() {
      // q表示就目前状态可以花费q.top.first的代价去联通q.top.second这个点
      priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > q;
      memset(dis, INF, sizeof(dis));
      q.push({0, 1});
      while (!q.empty()) {
          int id = q.top().second;
          if (vis[id]) {
              // 如果id已经被联通，直接continue
              q.pop();
              continue;
          } else {
              // 否则由于优先列队的排序，q.top.first一定是最小代价
              ans += q.top().first;
              q.pop();
          }
          vis[id] = true;
          for (auto i : road[id]) {
              if (i.second < dis[i.first]) {
                  dis[i.first] = i.second;
                  q.push({i.second, i.first});
              }
          }
      }
  }
  int main() {
      int n, m;
      int u, v, w;
      scanf("%d%d", &n, &m);
      while (m--) {
          scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
          road[u].push_back({v, w});
          road[v].push_back({u, w});
      }
      prim();
      printf("%d\n", ans);
      return 0;
  }

  果然还是和dijkstra很像啊，仿照dijkstra的堆优化就好了。这种建图的方法倒是比原先用的链式前向星好写多了。