单模字符串匹配算法（KMP, exKMP, manacher）

约定：本文字符串均从 $1$ 开始。模式串 $T$ 的长度为 $n$，匹配串 $S$ 的长度为 $m$。

1. KMP

1.1 前缀函数

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $S$，其前缀函数被定义为一个长度为 $n$ 的数组 $\pi$。其中 ${\pi }_i$ 被定义为：

1. 若子串 $S[1\cdots i]$ 有一对相等的真前缀与真后缀（即除了该子串本身的前缀和后缀）则 ${\pi }_i=i$，即为该真前缀的长度；
2. 如果不只有一个相等的，那么 ${\pi }_i$ 就是其中最长的那一对的长度；
3. 如果没有相等的，那么 ${\pi }_i=0$。

劝退地，

$${\pi }_i=\underset{0\le k<i}{max}\{k:S[1\cdots k]=S[i-k+1\cdots i]\}$$

特别地，${\pi }_1=0$。

1.2 计算前缀函数

考虑如何计算 $\pi (T)$。

假设我们已经求出了 ${\pi }_1\sim {\pi }_{i-1}$，令 ${\pi }_{i-1}=j$，若 $T[j+1]=T[i]$，根据前缀函数的定义，可以得到 $T[1\cdots j+1]=T[i-j\cdots 1]$，则 ${\pi }_i=j+1$；否则，$j\leftarrow {\pi }_j$，继续判断直到 $j=0$，此时 ${\pi }_i=0$。

1.3 KMP 匹配

得到模式串 $T$ 的前缀函数后，可以用与之类似的方式将其与 $S$ 进行匹配：假设已经匹配完 $S[i-1]$，对应的 $T$ 中的字符为 $T[j]$，若 $S[i]=T[j+1]$，则可以继续匹配；否则 $j\leftarrow {\pi }_j$，根据前缀函数的定义可得 $T[{\pi }_j]=T[j]=S[i-1]$，继续判断直到 $j=0$，此时从头开始匹配。

若 $j=n$，说明匹配完成，则与之第一个匹配的位置为 $S[i-n+1]$。

时间复杂度 $O(n+m)$。

P3375 【模板】KMP字符串匹配

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;

char T[N], S[N];
int n, m, ne[N]; // ne为T的前缀函数 

void get_next() { // 求ne数组(即前缀函数) 
	ne[1] = 0;
	for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
		while (T[j+1] != T[i] && j) j = ne[j];
		if (T[j+1] == T[i]) ne[i] = ++j;
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	cin >> S+1 >> T+1;
	n = strlen(T+1), m = strlen(S+1);

	get_next();
	
	for (int i = 1, j = 0; i <= m; ++i) { // 匹配 
		while (T[j+1] != S[i] && j) j = ne[j];
		if (T[j+1] == S[i]) ++j;
		if (j == n) cout << i-n+1 << '\n', j = ne[j];
	}

	for (int i = 1; i <= n; ++i) cout << ne[i] << ' ';
	cout << '\n';
	return 0;
}

2. exKMP

2.1 Z 函数

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $S$，定义其 Z 函数 $z(i)$ 表示 $S$ 和 $S[i,n]$（即以 $S[i]$ 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度。

劝退地，

$$z(i)=\underset{0\le k\le n-i+1}{max}\{k:s[1\cdots k]=s[i\cdots i+k-1]\}$$

特别地，$z(1)=n$。

2.2 计算 Z 函数

考虑如何计算 $T$ 的 Z 函数。

对于 $i$，我们称区间 $[i,i+z(i)-1]$ 为 $i$ 的匹配段，也称作 Z-box。我们需要维护最靠右的 box，记作 $[l,r]$，初始时 $l=r=0$。根据定义，可得 $s[l\cdots r]=s[1\cdots r-l+1]$。

假设我们已经求出了 $z(1)\sim z(i-1)$。则：

1. 若 $i\le r$：根据 $[l,r]$ 的定义，有 $s[i\cdots r]=s[i-l+1\cdots r-l+1]$，因此 $z(i)\ge min(z(i-l+1),r-i+1)$。这时：

• $z(i-l+1)<r-i+1$：即 $i+z(i)-1$ 对应的位置在 box 内，则 $z(i)=z(i-l+1)$。
• $z(i-l+1)\ge r-i+1$：即 $i+z(i)-1$ 对应的位置在 box 外，则 $z(i)\leftarrow z(i-l+1)$，然后暴力枚举能够扩展的字符即可。

2. 若 $i>r$：暴力枚举能够扩展的字符。

计算完 $z(i)$ 后更新 $l,r$。

2.3 exKMP 匹配

与计算 Z 函数的过程类似，但我们是在 $S$ 上计算。

时间复杂度 $O(n+m)$。

P5410 【模板】扩展 KMP（Z 函数）

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 2e7+10;

char T[N], S[N];
int n, m, z[N], p[N]; 

ll get_num(int a[], int n) {
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ans ^= (ll)i * (a[i]+1);
	return ans;
}

void get_z() { // 计算z函数
	z[1] = n;
	for (int i = 2, l = 0, r = 0; i <= n; ++i) {
		if (i < r) z[i] = min(z[i-l+1], r-i+1);
		while (z[i] <= n-i && T[i+z[i]] == T[1+z[i]]) z[i] ++;
		if (i+z[i]-1 > r) r = i+z[i]-1, l = i;
	} 
}

void get_p() { // 计算p函数
	for (int i = 1, l = 0, r = 0; i <= m; ++i) {
		if (i < r) p[i] = min(z[i-l+1], r-i+1);
		while (p[i] <= m-i && S[i+p[i]] == T[1+p[i]]) p[i] ++;
		if (i+p[i]-1 > r) r = i+p[i]-1, l = i;
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	cin >> S+1 >> T+1;
	n = strlen(T+1), m = strlen(S+1);
	
	get_z(), get_p();
	
	cout << get_num(z, n) << '\n' << get_num(p, m) << '\n';
	return 0;
}

3. manacher 算法

为了避免分类讨论，我们可以在所有字符之间加入一个特殊字符 #，并在字符串开头插入一个特殊字符 !。

令 $d_i$ 表示以 $S_i$ 为中心，回文字符串的最长半径（即若以 $S_i$ 为中心的回文字符串长度为 $k$，则 $d_i=\lceil {\displaystyle \frac{k}{2}}\rceil$）。类似于 exKMP，我们维护一个 box $[l,r]$ 表示所有回文串中右端点最大的回文串。

假设我们已经求出了 $d_1\sim d_{i-1}$。则：

1. 若 $i\le r$：则 $i$ 在 box 内的对称点为 $j=l+r-i$。这时：

• $d_i<r-i+1$：即 $i+d_i$ 在 box 内，根据对称性有 $S[j-d_j\cdots j+d_j]=S[i-d_i\cdots i+d_i]$。$d_i=d_j$。
• $d_i\ge r-i+1$：令 $d_i\leftarrow r-i+1$，然后暴力枚举能够扩展的字符即可。

2. 若 $i>r$：暴力枚举能够扩展的字符。

计算 $d_i$ 后更新 $l,r$。

时间复杂度 $O(n)$。

P3805 【模板】manacher 算法

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 3e7+10;

int n, idx, ans, d[N];
char S[N], T[N];

void build() { // 转换字符串
	S[++ idx] = '!', S[++ idx] = '#';
	for (int i = 1; i <= n; ++i) S[++ idx] = T[i], S[++ idx] = '#';
	S[++ idx] = '^';
}

void get_d() { // 求出d数组
	for (int i = 2, l = 0, r = 0; i < idx; ++i) {
		int j = l + r - i;
		if (i <= r) d[i] = min(d[j], r-i+1);
		while (S[i+d[i]] == S[i-d[i]]) d[i] ++;
		if (i+d[i] > r) r = i+d[i]-1, l = i-d[i]+1;
		ans = max(ans, d[i]-1);
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	cin >> T+1;
	n = strlen(T+1);
	
	build(), get_d();
	
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}