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数论小结 02

费马小定理

定理描述

\[if\ p\ is\ a\ prime,\ \gcd(a,p)=1,\ then\ a^{p-1}\equiv1\ \mod p \]

费马小定理应用

求逆元

求解 \(ax\equiv1\mod p\)，套用费马小定理：

\[a\cdot a^{p-2}=a^{p-1}\equiv1\mod p\\ ax\equiv1\mod p\\ \Longrightarrow x=a^{p-2} \]

所以只需要求 \(a^{p-2}\mod p\) 即可。

欧拉定理

定理描述

\[if\ \gcd(a,n)=1,\ a^{\varphi(n)}\equiv1\mod n \]

欧拉函数

欧拉函数 \(\varphi(n)\ (n\in N^*)\) 是小于等于 \(n\) 的正整数中与 \(n\) 互质的数的个数。

欧拉函数求解

1. 定义 \(\varphi(1)=1\)

2. 对于质数 \(n\)，有 \(\varphi(n)=n-1\)

3. 如果 \(n=p^k(p\ is\ prime,k\in N^*)\)，则 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})\)

4. 如果 \(n=p\cdot q,\ \gcd(p,q)=1\)，则 \(\varphi(n)=\varphi(p)\cdot\varphi(q)\) 欧拉函数是积性函数

5. 一般性的，对于 \(n\in N^*\) 做因式分解 \(n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\cdot\cdot p_r^{k_r}\) ，根据 \(3,4\) 有:

   \[\varphi(n)=\varphi{(p_1^{k_1})}\cdot\varphi{(p_2^{k_2})}\cdot\cdot\cdot\varphi{(p_r^{k_r})}\\ \]
   \[=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\cdot\cdot p_r^{k_r}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdot\cdot\cdot(1-\frac{1}{p_r})\\ =n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdot\cdot\cdot(1-\frac{1}{p_r})\\ =n\prod\limits_{x=1}^{r}\left(1-\frac{1}{p_x}\right) \]