【墨鳌】【Master Method】

Master Method

• 分治递归，是我们常用的程序设计思想，如何衡量一个递归算法设计的好坏呢？
• 这就使得我们得去思考：递归算法的复杂度如何计算

Master Method 是这样描述的：

\[T(n)=kT(n/m)+f(n),f(n)=n^d \]

\[T(n)\in \begin{cases} O(n^d) & k<m^d\\ O(n^d\cdot\log_m{n}) & k=m^d\\ O(n^{\log_m{k}}) & k>m^d\\ \end{cases} \]

递归树

graph TD root("f(n)") son1("f(n/m)") son2("......") son3("f(n/m)") leaf1("f(n/m^i)") leaf2("f(n/m^i)") leaf3("f(n/m^i)") leaf4("f(n/m^i)") leaf5("f(n/m^i)") leaf6("f(n/m^i)") leaf7("f(n/m^i)") leaf8("f(n/m^i)") leaf9("f(n/m^i)") root-->son1 root-->son2 root-->son3 son1-...->leaf1 son1-...->leaf2 son1-...->leaf3 son2-...->leaf4 son2-...->leaf5 son2-...->leaf6 son3-...->leaf7 son3-...->leaf8 son3-...->leaf9

• 第一层：\(1\) 个

• 第二层：\(k\) 个

• 第三层：\(k^2\) 个

• 第 \(i+1\) 层：\(k^i\)个

考虑叶子节点 \(f(n/m^i)=1\Longrightarrow n=m^i\iff i=\log_m{n}\)

推导过程

\[\because f(n)=n^d,\ i=\log_m{n}\\ \therefore T(n)=\Sigma f = f(n)+[k\cdot f(n/m)]+[k^2\cdot f(n/m^2)]+\dots+[k^i\cdot f(n/m^i)] \\ ​ = (n^d)[1+\frac{k}{m^d}+(\frac{k}{m^d})^2+\dots+(\frac{k}{m^d})^i] \\ \]

中括号内，为等比数列求和，公比 \(q\) 分类讨论

\[S=1+\frac{k}{m^d}+{(\frac{k}{m^d})}^2+...+{(\frac{k}{m^d})}^i, \qquad q=\frac{k}{m^d} \]

考虑 \(i\rightarrow+\infty\)

1. when $ q=1,\ S=i+1=i$

2. when \(q<1,\ S=\frac{1}{1-q}\)

3. when \(q>1,\ S=q^i\)

$ \therefore T(n)=n^d\cdot S$ 分三类讨论：

1. \(q=1\iff k=m^d\qquad T(n)=n^d\cdot i=n^d\cdot \log_m{n}=O(n^d\cdot \log_m{n})\)
2. \(q<1\iff k<m^d\qquad T(n)=n^d\cdot \frac{1}{1-q}=C\cdot n^d=O(n^d)\)
3. \(q>1\iff k>m^d\qquad T(n)=n^d\cdot q^i=n^d\cdot (\frac{k}{m^d})^{(\log_m{n})}=O(n^{\log_m{k}})\qquad (*)\)

\((*)\) 推导：

\(n^d\cdot (\frac{k}{m^d})^{(\log_{\text{m}}{n})}\)

\(=n^d\cdot \frac{k^{\log_{\ \text{ m}}{n}}}{(m^d)^{\log_{\ \text{ m}}{n}}}\)

\(=n^d\cdot \frac{k^{\log_{\ \text{ m}}{n}}}{(m^{\log_{\ \text{ m}}{n}})^d}\)

\(=n^d\cdot \frac{k^{\log_{\ \text{ m}}{n}}}{n^d}\)

\(=k^{\log_{\ \text{m}}{n}}\)

\(=k^{\frac{\log_{\ \text{ k}}{n}}{\log_{\ \text{ k}}{m}}}\)

\(=(k^{\log_{k}{n}})^\frac{1}{log_{\ k}{\ m}}\)

\(=n^{\log_{m}{k}}\)

练习题

master method

\[T(n)\in \begin{cases} O(n^d) & k<m^d\\ O(n^d\cdot\log_{m}{n}) & k=m^d\\ O(n^{\log_m{k}}) & k>m^d\\ \end{cases} \]

$ 1.\quad T(n)=T(n/3)+n$

\[k=1,m=3,d=1\Longrightarrow k<m^d\\ T(n)=O(n^d)=\Theta(n) \]

$ 2.\quad T(n)=T(2n/3)+1$

\[k=1,m=3/2,n=0\Longrightarrow k=m^d\\ T(n)=O(n^dlog_m{n})=\Theta(\log{n}) \]

$ 3.\quad T(n)=4T(n/2)+n$

\[k=4,m=2,d=1\Longrightarrow k>m^d\\ T(n)=O(n^{\log_m{k}})=\Theta(n^2) \]

$ 4.\quad T(n)=2T(n/2)+n$

\[k=2,m=2,n=1\Longrightarrow k=m^d\\ T(n)=O(n^dlog_m{n})=\Theta(n\log{n}) \]