【墨鳌】【Master Method】

Master Method

• 分治递归，是我们常用的程序设计思想，如何衡量一个递归算法设计的好坏呢？
• 这就使得我们得去思考：递归算法的复杂度如何计算

Master Method 是这样描述的：

$$T(n)=kT(n/m)+f(n),f(n)=n^d$$

$$T(n)\in \begin{cases} O(n^d) & k<m^d\\ O(n^d\cdot\log_m{n}) & k=m^d\\ O(n^{\log_m{k}}) & k>m^d\\ \end{cases}$$

递归树

• 第一层：$1$ 个

• 第二层：$k$ 个

• 第三层：$k^2$ 个

• 第 $i+1$ 层：$k^i$个

考虑叶子节点 $f(n/m^i)=1\Longrightarrow n=m^i\iff i=\log_m{n}$

推导过程

$$\because f(n)=n^d,\ i=\log_m{n}\\ \therefore T(n)=\Sigma f = f(n)+[k\cdot f(n/m)]+[k^2\cdot f(n/m^2)]+\dots+[k^i\cdot f(n/m^i)] \\ ​ = (n^d)[1+\frac{k}{m^d}+(\frac{k}{m^d})^2+\dots+(\frac{k}{m^d})^i] \\ $$

中括号内，为等比数列求和，公比 $q$ 分类讨论

$$S=1+\frac{k}{m^d}+{(\frac{k}{m^d})}^2+...+{(\frac{k}{m^d})}^i, \qquad q=\frac{k}{m^d}$$

考虑 $i\rightarrow+\infty$

1. when $q=1,\ S=i+1=i$

2. when $q<1,\ S=\frac{1}{1-q}$

3. when $q>1,\ S=q^i$

$\therefore T(n)=n^d\cdot S$ 分三类讨论：

1. $q=1\iff k=m^d\qquad T(n)=n^d\cdot i=n^d\cdot \log_m{n}=O(n^d\cdot \log_m{n})$
2. $q<1\iff k<m^d\qquad T(n)=n^d\cdot \frac{1}{1-q}=C\cdot n^d=O(n^d)$
3. $q>1\iff k>m^d\qquad T(n)=n^d\cdot q^i=n^d\cdot (\frac{k}{m^d})^{(\log_m{n})}=O(n^{\log_m{k}})\qquad (*)$

$(*)$ 推导：

$n^d\cdot (\frac{k}{m^d})^{(\log_{\text{m}}{n})}$

$=n^d\cdot \frac{k^{\log_{\ \text{ m}}{n}}}{(m^d)^{\log_{\ \text{ m}}{n}}}$

$=n^d\cdot \frac{k^{\log_{\ \text{ m}}{n}}}{(m^{\log_{\ \text{ m}}{n}})^d}$

$=n^d\cdot \frac{k^{\log_{\ \text{ m}}{n}}}{n^d}$

$=k^{\log_{\ \text{m}}{n}}$

$=k^{\frac{\log_{\ \text{ k}}{n}}{\log_{\ \text{ k}}{m}}}$

$=(k^{\log_{k}{n}})^\frac{1}{log_{\ k}{\ m}}$

$=n^{\log_{m}{k}}$

练习题

master method

$$T(n)\in \begin{cases} O(n^d) & k<m^d\\ O(n^d\cdot\log_{m}{n}) & k=m^d\\ O(n^{\log_m{k}}) & k>m^d\\ \end{cases}$$

$1.\quad T(n)=T(n/3)+n$

$$k=1,m=3,d=1\Longrightarrow k<m^d\\ T(n)=O(n^d)=\Theta(n)$$

$2.\quad T(n)=T(2n/3)+1$

$$k=1,m=3/2,n=0\Longrightarrow k=m^d\\ T(n)=O(n^dlog_m{n})=\Theta(\log{n})$$

$3.\quad T(n)=4T(n/2)+n$

$$k=4,m=2,d=1\Longrightarrow k>m^d\\ T(n)=O(n^{\log_m{k}})=\Theta(n^2)$$

$4.\quad T(n)=2T(n/2)+n$

$$k=2,m=2,n=1\Longrightarrow k=m^d\\ T(n)=O(n^dlog_m{n})=\Theta(n\log{n})$$