数据结构 | 树与二叉树常用计算公式

在二叉树的理论推导以及一些高频类型题中，我们经常需要计算二叉树的总结点数，某一层的结点数以及已知结点数反推树的高度，本文围绕这几个高频知识点，归纳总结以下公式。

公式#

（1）非空二叉树叶子结点数 = 度为2的结点数 + 1 即，$N_0 = N_2 + 1$

（2）非空二叉树上第K层至多有$2^{k-1}$ 个结点（$K \ge 1$）

（3）高度为H的二叉树至多有$2^H - 1$ 个结点（$H \ge 1$）

（4）具有N个（$N > 0$）结点的完全二叉树的高度为 $\lceil log_2{(N+1)} \rceil$ 或 $\lfloor log_2{N} \rfloor + 1$

（5）对完全二叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号1,2，...，N，则有以下关系：

① 当 $i > 1$ 时，结点 $i$ 的双亲结点编号为 $\lfloor i/2 \rfloor$ ，即当 $i$ 为偶数时，其双亲结点的编号为 $i/2$ ，它是双亲结点的左孩子；当 $i$ 为奇数时，其双亲结点的编号为 $(i-1)/2$ ，它是双亲结点的右孩子。

② 当 $2i \le N$ 时，结点i的左孩子编号为 $2i$ ，否则无左孩子。

③ 当 $2i+1 \le N$ 时，结点i的右孩子编号为 $2i+1$ ，否则无右孩子。

④ 结点 $i$ 所在层次（深度）为 $\lfloor log_2{i} \rfloor +1$ 。（设根结点为第1层）

经典例题#

Copy
**408考研-2011-4** 若一棵完全二叉树有768个结点，则二叉树中叶结点的个数是_____。
A.257            B.258            C.384            D.385

解法1#

根据完全二叉树的性质，最后一个分支结点的序号为 $\lfloor n/2 \rfloor = \lfloor 768/2 \rfloor = 384$ ，故叶子结点的个数为 $768 - 384 = 384$

解法2#

由二叉树的性质 $N = N_0 + N_1 + N_2$ 和 $N_0 = N_2 + 1$ 可知

$N = 2N_0 - 1 + N_1 ， 2N_0 - 1 + N_1 = 768$

显然，$N_1 = 1 ， 2N_0 = 768 ，则 N_0 = 384$

解法3#

完全二叉树的叶子结点只可能出现在最下两层，由题可计算完全二叉树的高度为10。

第10层的叶子结点数为 $768 - (2^9-1) = 257$

第10层的叶子结点在第9层共有 $\lceil 257/2 \rceil = 129$ 个父节点

第9层的叶子结点数为 $(2^9 - 1) - 129 = 127$

则叶子结点总数为 $257 + 127 = 384$