乘法逆元

逆元的定义

求解逆元的方法

例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3811

扩展欧几里得

传送门

这个方法的好处就是在a与p互质，但是p不是质数的时候也可以使用

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long x, y;
long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    long long r = exgcd(b, a%b, y, x);//因为x变为y，所以xy互换位置
    y -= (a / b)*x;
    return r;
}
long long reverse(long long a, long long n)//ax=1(mod n) 求a的逆元x 
{    
    long long d;
    d = exgcd(a, n, x, y);
    if (d == 1)//若为1,调整x0到0~m-1的范围中即可
        return (x%n + n) % n;
    else return -1;//gcd不为1说明逆元不存在
}
int main()
{
    long long n, p;

    scanf("%lld%lld", &n, &p);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%lld\n", reverse(i, p));
}

但是由于本题的n值较大，导致最后的两个测试点超时

快速幂+费马小定理

费马小定理：

 

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long x, y;
long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    long long r = exgcd(b, a%b, y, x);//因为x变为y，所以xy互换位置
    y -= (a / b)*x;
    return r;
}
long long reverse(long long a, long long n)//ax=1(mod n) 求a的逆元x 
{    
    long long d;
    d = exgcd(a, n, x, y);
    if (d == 1)//若为1,调整x0到0~m-1的范围中即可
        return (x%n + n) % n;
    else return -1;//gcd不为1说明逆元不存在
}

long long fastpower(long long  base, long long power, long long mod)
{
    long long result = 1;
    while (power > 0)
    {
        if (power & 1)
            result = result*base%mod;
        power >>= 1;
        base = base*base%mod;
    }
    return result;
}
int main()
{
    long long n, p;

    scanf("%lld%lld", &n, &p);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        //printf("%lld\n", reverse(i, p));
    printf("%lld\n", fastpower(i, p - 2, p));

}

同样还是最后的两个测试点超时

线性算法

这种方法专门适用于该类题型，即求解一串连续的数字mod p的逆元

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
long long list[3000002];
int main()
{
    list[1] = 1;
    long long n, p;
    scanf("%lld%lld", &n, &p);
    for (int i = 2; i <=n;i++)
        list[i] = (p - p / i) * list[p % i] % p;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%lld\n", list[i]);
}

参考：https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/7773566.html