进制转换

一、进制基础概念

1. 进制的定义

   • 进位计数制，人为定义的带进位计数方法。
   • 对于X进制，逢X进一（如10进制逢10进1，2进制逢2进1）。

2. 常见进制

   进制	应用场景	数字表示
   10进制	日常生活	0-9
   2进制	计算机底层	0,1
   8进制	简化二进制表示	0-7
   16进制	编程、内存地址	0-9, A(10)-F(15)
   60进制	时间、角度	0-59

3. 数数规则对比

   • 10进制: 0, 1, 2, ···, 9, 10, 11, ···
   • 2进制: 0, 1, 10, 11, 100, ···
   • 8进制: 0, 1, 2, ···, 7, 10, 11, ···
   • 16进制: 0, 1, 2, ···, 9, A, B, ···, F, 10, 11, ···

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二、进制转换方法

1. 十进制 → X进制：除X取余法

• 步骤：
  1. 用十进制数除以X，记录余数。
  2. 将商继续除以X，直到商为0。
  3. 余数倒序排列即为结果。

示例1：10 → 2进制

10 ÷ 2 = 5 余 0  
 5 ÷ 2 = 2 余 1  
 2 ÷ 2 = 1 余 0  
 1 ÷ 2 = 0 余 1  
→ 倒序：1010

示例2：431 → 16进制

431 ÷ 16 = 26 余 F(15)  
 26 ÷ 16 = 1 余 A(10)  
  1 ÷ 16 = 0 余 1  
→ 倒序：1AF

2. X进制 → 十进制：按权展开法

• 步骤：从右到左（低位到高位），每位数字乘以X的幂次后求和。

示例1：2进制 1100 → 10进制

0×2⁰ + 0×2¹ + 1×2² + 1×2³ = 0 + 0 + 4 + 8 = 12

示例2：16进制 1A → 10进制

A(10)×16⁰ + 1×16¹ = 10 + 16 = 26

3. 二进制 ↔ 八/十六进制：分组替换法

• 核心规则：
  • 1位八进制 = 3位二进制（口诀：421）
  • 1位十六进制 = 4位二进制（口诀：8421）

示例1：2进制 1011010 → 8进制

分组：001 011 010 （补前导0）  
计算：  
  001 → 0×4 + 0×2 + 1×1 = 1  
  011 → 0×4 + 1×2 + 1×1 = 3  
  010 → 0×4 + 1×2 + 0×1 = 2  
→ 结果：132₈

示例2：2进制 1011010 → 16进制

分组：0101 1010  
计算：  
  0101 → 0×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 5  
  1010 → 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 10(A)  
→ 结果：5A₁₆

反向转换：直接按位数展开。

• 例：8进制 153 → 2进制

  1 → 001  
  5 → 101  
  3 → 011  
  → 结果：001101011（可省略前导0→1101011）
  

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三、使用示例

int main() {
    // 十进制转其他进制
    cout << "10 to binary: " << BaseConverter::fromDecimal(10, 2) << endl;
    cout << "431 to hex: " << BaseConverter::fromDecimal(431, 16) << endl;
    
    // 其他进制转十进制
    cout << "1010 to decimal: " << BaseConverter::toDecimal("1010", 2) << endl;
    cout << "1AF to decimal: " << BaseConverter::toDecimal("1AF", 16) << endl;
    
    // 直接转换
    cout << "Binary 1100 to hex: " 
         << BaseConverter::convert("1100", 2, 16) << endl;
    
    return 0;
}

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四、速记技巧

1. 二进制分组：
   • 八进制：从右到左每3位一组，不足补前导0。
   • 十六进制：每4位一组。
2. 权值口诀：
   • 八进制：4-2-1
   • 十六进制：8-4-2-1
3. 字母转换：
   • A(10)-F(15) 用于十六进制，避免混淆。

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五、易错点提醒

1. 余数倒序：十进制转X进制时，余数需反向书写。
2. 补零对齐：二进制分组时，确保位数是3或4的倍数。
3. 字母大小写：十六进制中A-F通常大写，但编程中大小写均可。