Floyd-Warshall算法
Floyd也是采用动态规划的方案来解决在一个有向图G=(V,E)上每对顶点间的最短路径问题。运行时间为Θ(V3)。
算法分析:
用邻接矩阵map[][]存储有向图,用dist[i][j]表示i到j的最短路径。设G的顶点为V={1,2,3...n},对于任意一对顶点i,j属于V,假设i到j有路径且中间节点皆属于集合{1,2,3...k},P是其中的一条最小权值路径。就是i到j的最短路径P所通过的中间顶点最大不超过k。
设为从
到
的只以
集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。
- 若最短路径经过点k,则
;
- 若最短路径不经过点k,则
。
因此,。
for k ← 1 to n do for i ← 1 to n do for j ← 1 to n do if (Di,k + Dk,j < Di,j) then Di,j←Di,k + Dk,j ;
实现代码:
/************************************************************************* > File Name: Floyd_Warshall.cpp > Author: He Xingjie > Mail: gxmshxj@163.com > Created Time: 2014年06月12日 星期四 15时57分22秒 > Description: ************************************************************************/ #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; #define MAX 20 #define INF 65535 //map邻接矩阵,dist记录最短路径,path用于最短路径 int map[MAX][MAX], dist[MAX][MAX], path[MAX][MAX]; int Init() { int n; cin>>n; for (int i=0; i<n; i++) for(int j=0; j<n; j++) { cin>>map[i][j]; dist[i][j] = map[i][j]; path[i][j] = 0; } return n; } void Floyd(int n) { int i, j, k; for (k=0; k<n; k++) for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<n; j++) if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] !=INF && dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) { dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; path[i][j] = k; //i到j要经过K节点 } } void PrintShortestPath(int i, int j) { //递归打印最短路径 if (path[i][j] == 0) //表示i->j没有中间节点 { printf("%d ", j+1); return; } else { PrintShortestPath(i, path[i][j]); PrintShortestPath(path[i][j], j); } } void PrintMap(int n) { int i, j; for (i=0; i<n; i++) { for (j=0; j<n; j++) cout<<dist[i][j]<<" "; cout<<endl; } cout<<endl; } int main() { int n; freopen("input.txt", "r", stdin); n = Init(); Floyd(n); PrintMap(n); for (int i=0; i<n; i++) { for (int j=0; j<n; j++) { if (i != j) { cout<<i+1<<" "; PrintShortestPath(i, j); cout<<endl; } } cout<<endl; } return 0; } 2014/6/13 23:24
输入数据:
5 0 3 8 65535 -4 655535 0 65535 1 7 65535 4 0 65535 65535 2 65535 -5 0 65535 65535 65535 65535 6 0
输出数据:
参考:
http://zh.wikipedia.org/zh/%E5%BC%97%E6%B4%9B%E4%BC%8A%E5%BE%B7%E7%AE%97%E6%B3%95
http://www.cppblog.com/mythit/archive/2009/04/21/80579.aspx
我是一名在校大学生,热爱编程,虽然起步晚了些,但我会努力的。呵呵!
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