动态规划----0/1背包问题

　　

　　

　　问题描述:

　　我们有n种物品，物品j的重量为w_j，价格为v_j。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。^[1]

　　解题思路：

　　　　最终的目标是在总重量不超过W的前提下，总价值最高。在总重量不操作Y的前提下，我们可以将前j种物品的总价值所能达到的最高值定义为value[j][Y]；那么就会有:

　　　　　　value[0][Y] = 0;   //Y=[0,1,2,...,W] 

　　　　　　value[j][0] = 0;　//j=[1,2,...,n]

　　　　　　如果Wj > Y， value[j][Y] = value[j-1][Y];       //这时Wj不能放入背包，所以总价值还是等于前一个物品放入时的价值

　　　　　　如果Wj <= Y，value[j][Y] = MAX(value[j-1][Y]，v_j + alue[j-1][Y-Wj]);　　//   这时就得分两种情况来分析，一种是当前状态下不能再放入，另一种情况时放入进去；然后从这两种情况里面选最大值

　　　　通过计算value[n][W]就可以得到最终的结果。（上面的注释分析是我自己的理解方法，也不知道对不对，但是按照这种方法我自己能够比较好的理解这个问题）

　　　　最后，再确定累加计算的方式，那么这个问题就顺利的实现出来了。我们可以针对每一个j值（此时的j表示的时前j个物品都放入到背包里面），都遍历一遍背包的所以可能容量(0,1,2,...,W)，即用两个for循环即可。可以用下面这个图来辅助理解：^[2]

h横坐标表示的是Y的值，0—10，纵坐标表示的是物品的个数1—3。

　　代码实现：

 

#include <stdio.h>

#define MAX_LEN 100
#define MAX(a,b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

int value[MAX_LEN][MAX_LEN];    //value[i][j]表示总重量不超过j时，前i个物品所能构成的最大价值

int w[]={-1,3,4,5};        //物品重量数组
int v[]={-1,4,5,6};    //物品价值数组

int package(int m, int n);

int main()
{
    int m,n,i,j;
    int ret;

    m = 10;        //背包容量
    n = 3;        //物品个数

    //scanf("%d%d",&m,&n);

    for (i = 0; i <= m; i++)
        for (j = 0; j <= n; j++)
            value[i][j] = 0;

    ret = package(m,n);

    printf("%d\n",ret);

    return 0;
}

int package(int m, int n)
{
    int i,j;

    for (j = 1; j <= n; j++)    //背包编号
    {
        for (i = 0; i <= m; i++)   //背包容量
        {
            if (w[j] <= i)
            {            
                value[j][i] = MAX(value[j-1][i],v[j] + value[j-1][i-w[j]]);  
            }
            else
            {
                value[j][i] = value[j-1][i];
            }
        }
    }

    return value[n][m];
}

    2013/10/11  23:31

 

 　　参考文档：

　　

　　 [1]  维基百科 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98#.E5.8A.A8.E6.80.81.E8.A7.84.E5.88.92.E8.A7.A3.E6.B3.95

　　  [2]  百度文库里面的文章 http://wenku.baidu.com/view/7d0ebd8ccc22bcd126ff0ce2.html