动态规划--凸多边形最优三角剖分

算法设计与实现  王晓东

题目描述：

用多边形顶点的逆时针序列表示凸多边形，即P={v0,v1,…,vn-1}表示具有n条边的凸多边形。

    

　　给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得即该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。

解题思路：

　　若凸(n+1)边形P={v0,v1,…,vn-1}的最优三角剖分T包含三角形v0vkvn，1≤k≤n-1，则T的权为3个部分权的和：三角形v0vkvn的权，子多边形{v0,v1,…,vk}和{vk,vk+1,…,vn}的权之和。可以断言，由T所确定的这2个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{v0,v1,…,vk}或{vk,vk+1,…,vn}的更小权的三角剖分将导致T不是最优三角剖分的矛盾。

　　

　　

　　那么我们定义一个t[i][j]，1<=i<=j<=N,为凸子多边形{vi-1,vi,…,vj}的最优三角剖分所对应的权函数值，即其最优值。据此定义，要计算的凸(n+1)边形P的最优权值为t[1][n]。

　　t[i][j]的值可以利用最优子结构性质递归地计算。当j-i≥1时，凸子多边形至少有3个顶点。由最优子结构性质，t[i][j]的值应为t[i][k]的值加上t[k+1][j]的值，再加上三角形vi-1vkvj的权值，其中i≤k≤j-1。由于在计算时还不知道k的确切位置，而k的所有可能位置只有j-i个，因此可以在这j-i个位置中选出使t[i][j]值达到最小的位置。由此，t[i][j]可递归地定义为：

对于要求的t[1][n]，可以用通过由下至上的，从链长（多边形的边）为2开始计算，每次求t[i][j]的最小值，并且记录最小值所对应的K值，根据最优子结构的性质，逐步向上就可以求出t[1][n]的最小值。

类似的，求三角划分顶点的乘积的最小值问题，也是一样的。

 

代码实现：

#include <stdio.h>

#define N 6        //顶点数/边数

int weight[][N] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},
{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};

int t[N][N];    //t[i][j]表示多边形{Vi-1VkVj}的最优权值
int s[N][N];    //s[i][j]记录Vi-1到Vj最优三角剖分的中间点K

int get_weight(const int a, const int b, const int c)
{
    return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[c][a];
}

void minest_weight_val()
{
    int i,r,k,j;
    int min;

    for (i = 1; i < N; i++)
    {
        t[i][i] = 0;
    }

    for (r = 2; r < N; r++)
    {
        for (i = 1; i < N-r+1; i++)
        {
            j = i + r -1;
            min = 9999;        //假设最小值
            for (k = i; k < j; k++)
            {
                t[i][j] = t[i][k] + t[k+1][j] + get_weight(i-1,k,j);
                if (t[i][j] < min)        //判断是否是最小值
                {
                    min = t[i][j];
                    s[i][j] = k;    
                }
            }
            t[i][j] = min;        //取得多边形{Vi-1，Vj}的划分三角最小权值
        }
    }
}

void back_track(int a, int b)
{
    if (a == b) return;
    back_track(a,s[a][b]);
    back_track(s[a][b]+1,b);    //记得这是要加一
    printf("最优三角: V%d V%d V%d.\n",a-1,s[a][b],b);
}



int main()
{
    minest_weight_val();
    printf("result:%d\n",t[1][N-1]);
    back_track(1,5);
    return 0;
}

2013/9/3 10:06