分治算法--棋盘覆盖

 

问题描述

在一个2^{^k}×2^{^k} 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

解题思路

分析：当k>0时，将2k×2k棋盘分割为4个2^{^k-1}×2^{^k-1} 子棋盘(a)所示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如 (b)所示，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘1×1。（出自算法设计与分析-王晓东）

实现：每次都对分割后的四个小方块进行判断，判断特殊方格是否在里面。这里的判断的方法是每次先记录下整个大方块的左上角（top left coner）方格的行列坐标，然后再与特殊方格坐标进行比较，就可以知道特殊方格是否在该块中。如果特殊方块在里面，这直接递归下去求即可，如果不在，这根据分割的四个方块的不同位置，把右下角、左下角、右上角或者左上角的方格标记为特殊方块，然后继续递归。在递归函数里，还要有一个变量s来记录边的方格数，每次对方块进行划分时，边的方格数都会减半，这个变量是为了方便判断特殊方格的位置。其次还要有一个变nCount来记录L型骨牌的数量。

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int nCount = 0;
int Matrix[100][100];

void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size);

int main()
{
    int size,r,c,row,col;
    memset(Matrix,0,sizeof(Matrix));
    scanf("%d",&size);
    scanf("%d%d",&row,&col);
    chessBoard(0,0,row,col,size);

    for (r = 0; r < size; r++)
    {
        for (c = 0; c < size; c++)
        {
            printf("%2d ",Matrix[r][c]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
    //tr and tc represent the top left corner's coordinate of the matrix
    int s,t;
    if (1 == size) return;

    s = size/2; //The number of grid the matrix's edge
    t = ++ nCount;

    //locate the special  grid on bottom right corner
    if (dr < tr + s && dc < tc +s)
    {
        chessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
    }
    else
    {
        Matrix[tr+s-1][tc+s-1] = t;
        chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
    }

    //locate the special  grid on bottom left corner
    if (dr < tr + s && dc >= tc + s )
    {
        chessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
    }
    else
    {
        Matrix[tr+s-1][tc+s] = t;
        chessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
    }

    //locate the special  grid on top right corner
    if (dr >= tr + s && dc < tc + s)
    {
        chessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
    } 
    else
    {
        Matrix[tr+s][tc+s-1] = t;
        chessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
    }

    //locate the special  grid on top left corner
    if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)
    {
        chessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
    } 
    else
    {
        Matrix[tr+s][tc+s] = t;
        chessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
    }

}
2013/6/14  22:30

 

程序结果：