有序数组中的单一元素

有序数组中的单一元素

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方法一：全数组的二分查找

思路：

假设只出现一次的元素位于下标 x，由于其余每个元素都出现两次，因此下标 x 的左边和右边都有偶数个元素，数组的长度是奇数。

由于数组是有序的，因此数组中相同的元素一定相邻。对于下标 x 左边的下标 y，如果 $\mathit{\text{nums}}[y]=nums[y+1]$，则 y 一定是偶数；对于下标 x 右边的下标 z，如果 $\mathit{\text{nums}}[z]=\mathit{\text{nums}}[z+1]$，则 z 一定是奇数。由于下标 x 是相同元素的开始下标的奇偶性的分界，因此可以使用二分查找的方法寻找下标 x。

初始时，二分查找的左边界是 0，右边界是数组的最大下标。每次取左右边界的平均值 $\mathit{\text{mid}}$ 作为待判断的下标，根据 $\mathit{\text{mid}}$ 的奇偶性决定和左边或右边的相邻元素比较：

• 如果 $\mathit{\text{mid}}$ 是偶数，则比较 $\mathit{\text{nums}}[\mathit{\text{mid}}]$ 和 $\mathit{\text{nums}}[\mathit{\text{mid+1}}]$ 是否相等；
• 如果 $\mathit{\text{mid}}$ 是奇数，则比较 $\mathit{\text{nums}}[\mathit{\text{mid-1}}]$ 和 是$\mathit{\text{nums}}[\mathit{\text{mid}}]$否相等；

如果上述比较相邻元素的结果是相等，则 $\mathit{\text{mid}}<x$，调整左边界，否则 $\mathit{\text{mid}}\ge x$，调整右边界。调整边界之后继续二分查找，直到确定下标 x 的值。

得到下标 x 的值之后， $\mathit{\text{nums}}[\mathit{\text{mid}}]$ 即为只出现一次的元素。

细节

利用按位异或的性质，可以得到mid和相邻的数之间的如下关系，其中 ⊕ 是按位异或运算符：

亦或运算规则：参加运算的两个数，如果两个相应位为“异”（值不同），则该位结果为1，否则为0。

• 当mid 是偶数（二进制时最后一位为0）时，mid + 1 = mid⊕1；
• 当mid 是奇数（二进制时最后一位为1）时，mid - 1 = mid⊕1。

因此在二分查找的过程中，不需要判断 mid 的奇偶性，mid 和 mid⊕1 即为每次需要比较元素的两个下标。

class Solution {
    public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
        int low = 0, high = nums.length - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low) / 2 + low;
            if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
                low = mid + 1;
            } else {
                high = mid;
            }
        }
        return nums[low];
    }
}

方法二：偶数下标的二分查找

思路：

由于只出现一次的元素所在下标 x 的左边有偶数个元素，因此下标 x 一定是偶数，可以在偶数下标范围内二分查找。二分查找的目标是找到满足 $\mathit{\text{nums}}[x]\ne \mathit{\text{nums}}[x+1]$ 的最小的偶数下标 x，则下标 x 处的元素是只出现一次的元素。

初始时，二分查找的左边界是 0，右边界是数组的最大偶数下标，由于数组的长度是奇数，因此数组的最大偶数下标等于数组的长度减 1。每次取左右边界的平均值 mid 作为待判断的下标，如果mid 是奇数则将 mid 减 1，确保mid 是偶数，比较 nums[mid] 和 nums[mid+1] 是否相等，如果相等则 mid<x，调整左边界，否则 mid≥x，调整右边界。调整边界之后继续二分查找，直到确定下标 x 的值。

得到下标 x 的值之后，nums[x] 即为只出现一次的元素。

细节

考虑 mid 和 1 按位与运算的结果，其中 & 是按位与运算符：

• 当mid 是偶数时，mid & 1=0；
• 当mid 是奇数时，mid & 1=1。

因此在得到mid 的值之后，将 mid 的值减去 mid & 1，即可确保 mid 是偶数，如果原来的 mid 是偶数则值不变，如果原来的mid 是奇数则值减 1。

class Solution {
    public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
        int low = 0, high = nums.length - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low) / 2 + low;
            mid -= mid & 1;
            if (nums[mid] == nums[mid + 1]) {
                low = mid + 2;
            } else {
                high = mid;
            }
        }
        return nums[low];
    }
}