二分查找

二分查找

零、二分查找框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        //不能使用 mid = (left + right) / 2 这种方式，因为left + right可能会导致加法溢出
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

一、寻找一个数（基本的二分搜索）

即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {//注意
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}

注意点：

1. 循环条件中是<=，而不是<

   因为right的初始化赋值是nums.length - 1，而不是nums.length，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]， 后者相当于左闭右开区间 [left, right)

   在这个算法中使用的是前者[left, right]两端都闭的区间，这个区间其实就是我们每次进行搜索的区间

   找不到目标值时，我们需要通过while循环终止，然后返回-1，while循环在搜索区间为空的时候就应该终止

   while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1， 写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空

   while(left < right) 的终止条件是 left == right ，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空

2. left = mid + 1，right = mid - 1而不是 right = mid 或者 left = mid

   这也是二分查找的一个难点，不过只要能理解前面的内容，就能够很容易判断。

   刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

   当然是去搜索区间 [left, mid-1] 或者区间 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

二、寻找左侧边界的二分搜索

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意
    
    while (left < right) { // 注意
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意
        }
    }
    return left;
}

三、寻找右侧边界的二分查找

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length;
    
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}

二分搜索问题的泛化

什么问题可以运用二分搜索算法技巧？

从题目中抽象出一个自变量 x，一个关于 x 的函数 f(x)，以及一个目标值 target。

同时，x, f(x), target 还要满足以下条件：

• f(x) 必须是在 x 上的单调函数（单调增单调减都可以）。
• 题目是让你计算满足约束条件 f(x) == target 时的 x 的值。