动态规划法----多边形游戏问题

一、题目

     给出一个多边形，满足：

          1. 每个顶点是一个数值

          2. 每条边是一个符号

     我们将某个边断开，形成一条数值和符号组成的链，然后计算这条链的值。

          1· 可以选择任意一条边断开。

          2.求链的值时，可以不必按运算符的优先级顺序，任意选择先后

    题目的要求是得到最大的值

 

二、示例

 

 

三、分析

      1. 如上图，我们将图的信息保存如下：

          顶点数：REAL_SIZE = 3

          顶点：v[3] = {1,2,3}

          边： op[3] = {'+','x','+'}

     

      2. 假如我们从 边i 断开，则形成了链

          v[i],op[i+1],v[i+1],op[i+2] .....v[i+s-1],op[s],v[i+s]...op[i-1],v[i-1]

 

          计算得到其最大值，题目要求的最大值，也就是分别将每个边断开后，能得到的每条链的最大值中的最大的。

 

      3. 为了计算方便，我们记：

          p[i,j] 表示从顶点i开始，包括j个顶点的链

          m[i,j,0]表示这条链的最小值

          m[i,j,1]表示这条链的最大值

          这样 i 从 0到REAL_SIZE 的所有 m[i,REAL_SIZE,1]中最大的就是题目要的结果

 

      4. 将p[i,j]在op[i+s]处断开，则形成两条链p[i,s],和p[i+s,j-s]

          得到p[i,s]和p[i+s,j-s]的最小值和最大值，就可以得到p[i,j]在s处断开的最大值最小值

          当s 从1开始到 j-1，分别得到 对应的断开方法的最值，从这些最值中选择最小和最大的作为m[i,j,0]和m[i,j,1]

 

四、代码如下

          #include<stdio.h> //--------------------------预定义与全局变量------------------------------------ #define MAX_VETEX_SIZE 20 //程序能接受的最大顶点数目 int REAL_SIZE; //程序中实际的顶点数目 int m[MAX_VETEX_SIZE][MAX_VETEX_SIZE+1][2]; //保存最大最小值(第二维表示链中顶点个数) int v[MAX_VETEX_SIZE]; //顶点（数值） char op[MAX_VETEX_SIZE]; //边（符号） //--------------------------初始化m数组----------------------------------------- void init_m(){ int i; for(i=0;i<REAL_SIZE;i++){ m[i][1][0] = v[i]; //链中只有一个顶点i m[i][1][1] = v[i]; } } //-----------------------返回四个数中的最值--------------------------------------------- void getMin_Max(int n1,int n2,int n3,int n4,int* min,int* max){ //返回四个操作数中的最大最小值 *min = (n1>n2)?((n2>n3)? (n3>n4? n4:n3):(n2>n4? n4:n2)) :((n1>n3)? (n3>n4? n4:n3):(n1>n4? n4:n1)); *max = (n1<n2)?((n2<n3)? (n3<n4? n4:n3):(n2<n4? n4:n2)) :((n1<n3)? (n3<n4? n4:n3):(n1<n4? n4:n1)); } //-----------------------获取有断点的最大最小值-------------------------------------- void minMax(int i,int s,int j,int* minf,int* maxf){ //p[i,j]从s处断开的最大值maxf 与 最小值minf // int e[4]; //ac，ad，bc，bd 的值 int a,b,c,d,r; a = m[i][s][0]; //a 保存从i 到 i+s顶点构成链的最小值 b = m[i][s][1]; r = (i+s)%REAL_SIZE; c = m[r][j-s][0]; d = m[r][j-s][1]; //printf("i=%d; s=%d; j=%d; r=%d/n",i,s,j,r); if(op[r] == '+'){ //处理加号 *minf = a+c; *maxf = b+d; } else{ //处理乘法 getMin_Max(a*c,a*d,b*c,b*d,minf,maxf); //获取ac，ad，bc，bd 的最大最小值 } } //------------------------------获取结果------------------------------------------------- int Poly_Max(){ int minf,maxf,temp; int i,j,s; for(j=2;j<=REAL_SIZE;j++){ //控制每个链中的顶点个数 for(i=0;i<REAL_SIZE;i++){ //控制每个链中的顶点的起始位置 for(s=1;s<j;s++){ minMax(i,s,j,&minf,&maxf); if(m[i][j][0] > minf) m[i][j][0] = minf; if(m[i][j][1] < maxf) m[i][j][1] = maxf; } //此时已经获得了从i到i+j的顶点所有s对应的值中最大和最小 } } //求所有长度为REAL_SIZE个顶点的链中，值最大的 temp = 0; for(i=1;i<REAL_SIZE;i++){ if(m[i][REAL_SIZE][1] > m[temp][REAL_SIZE][1]){ temp = i; } } return m[temp][REAL_SIZE][1]; } //---------------------------------主函数-------------------------------------------------- void main(){ int i =0; scanf("%d",&REAL_SIZE); //用户输入顶点数目 for(i=REAL_SIZE-1;i>=0;i--){ //顶点和边信息 scanf("%d %c",&v[i],&op[i]); //输入样例如下 } //3 //1 x 3 + 2 + init_m(); printf("%d/n",Poly_Max()); //输出为 9 }