「一本通 6.5 练习 3」迷路

「一本通 6.5 练习 3」迷路

题目描述

大意说一个给你有向图, 一个有n个节点,每个节点相连的边为所需要花费的时间, 问你从1到n 在时间刚好为t是的方案数。输出%2009

注意：不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

分析

​ 这个题初看没有什么头绪(dp失败. 我们联系一下邻接矩阵, 邻接矩阵一个很神奇的性质: 表示连通性的邻接矩阵的k次幂后的a[i][j]表示图中i–>j长度为k的路径条数，大概理解为: 从第i点出发到任意点的长度k-1道路条数(第i行) 与 任意点到j点的长度1的道路条数(第j列) 乘积和就是i–>j长度为k的路径条数

​ 但是邻接矩阵只能处理边权为1的点, 这题需要转换. 我们把一个点i拆成更多的虚点，用来抵消部分边权的距离, 让它实际上以邻接矩阵的方式跑图. 假如点1到点2的边权为5, 把这条边拆成边权为1的5条边, 让点1在自己的虚点上先走4步, 最后到达2, 路径(1.0)->(1.1)->(1.2)->(1.3)->(1.4)->(2.0), 最后矩阵快速幂一下。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pi acos(-1)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=505;
const int length=100;
int n,m,t,p=2009;
struct node{
    int matrix[length+5][length+5]={0};
    node(){
		memset(matrix,0,sizeof(matrix));
	};
	node operator*(const node &rhs)const{
		node ans;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				for(int k=1;k<=m;k++){
					ans.matrix[i][j]=(ans.matrix[i][j]+matrix[i][k]*rhs.matrix[k][j]%p)%p;
				}
			}
		}
		return ans;
	}
};
node pow(node a,int k){
    node ans;
	for(int i=1;i<=m;i++)ans.matrix[i][i]=1;
    while(k){
        if(k&1){
            ans=ans*a;
        }
        k>>=1;
        a=a*a;
    }
    return ans;
}
int main() 
{
#ifdef __DEBUG__
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
	scanf("%d%d",&n,&t);
	m=9*n;
	node ans,base;
	int tmp;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<9;j++){
			base.matrix[(i-1)*9+j][(i-1)*9+j+1]=1;//连接拆点
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%1d",&tmp);
			if(tmp){
				base.matrix[(i-1)*9+tmp][(j-1)*9+1]=1;//在自己的链上跑tmp次到下个状态
			}
		}
	}
	ans=pow(base,t);
	printf("%d\n",ans.matrix[1][m-8]);
	return 0;
}