Fiat-Shamir

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只要Alice和Bob同时在线，Sigma协议能快速的完成Alice向Bob证明的任务。Alice向Bob发送承诺，Bob返回一个挑战，最后Alice给出一个回应。不幸的是，没有进一步的修改，Sigma协议实际上不是零知识的：它们仅仅是诚实验证者零知识的。

Fiat-Shamir变换是一种可以将Sigma协议变成非交互证明的技术。这不仅仅会让Alice可以通过给Bob发送邮件完成证明(Bob可以稍后阅读邮件而不必返回一个挑战)，而且它能把任何一个Simga协议变成一个数字签名，签名的含义就是“知道这个Sigma协议的秘密的人已经签署了这个消息”。Alice能够创造一个签名一次然后无数次的进行分发，验证者可以不必联系Alice。同时零知识也变得容易了，因为Bob或者其它读者不能做任何事情。

尽管菲亚特和沙米尔在1986年的论文中解释了这种技术，但过去几位著名的密码学家曾指出，这种技术实际上是布鲁姆在更早的著作中提出的，尽管我们还没有能够追踪到这一点。

一个Sigma协议能够通过四个算法实现：“承诺”，“挑战”，“回应”，“验证”。下面给出了解释：

Alice                                Bob
-----                                -----
    
co,st = Commit(secret,public)
         ---------- co --------->
                                     c = Challenge()
         <--------- c  ----------
r = Respond(st,c)
         ---------- r  --------->
                                     Check(co,c,r)

Fait-Shamir变换中，Alice选择了哈希函数𝐻H，然后使用它创造挑战：

Alice                                World
-----                                -----

co, st = Commit(secret,public)
c = H(public,co)
r = Respond(st,c)
         ------ co,r ----------->
                                     c = H(public,co)
                                     Check(co,c,r)

如果Alice想要签署一个消息m，她需要让c = H(public, co, m)，然后把(m, co, r)公布出去作为消息。

为什么这个方法工作，因为𝐻H是一个随机函数，挑战是均匀随机的被选择，独立于Alice的公开信息和承诺的。安全分析认为Alice不能访问𝐻H内部的代码，只能把𝐻H当作一个oracle。在这种情况下，Alice在不遵循协议的情况下做出正确响应的概率(特别是当她不知道必要的秘密时)与𝐻H的范围的大小成反比。假设𝐻H的定义域和值域分别是𝑋X和𝑌Y，Alice为了伪造进行了𝑞q次调用。那么Alice获得正确𝑟r的值的概率是𝑞/|𝑌|q/|Y|。典型的𝑌=2𝑛Y=2n，所以整个概率是可以忽略的。

有些人会告诉你，这种模式的安全分析被叫做随机oracle模型是有严重缺陷的，因为那有一个反例--在随机oracle模型中安全但是在任何人工hash函数都是不安全的。这个反例表明，如果你努力想要做一个愚蠢的方案，你就会得到一个愚蠢的方案。实际上，Fiat-Shamir早在1986年就已为人所知，并在若干实际应用中得到应用，至今仍完好无损(如果处理得当)。没有人已经提出了一个可行的攻击针对经过Fiat-Shamir转换的Sigma协议的方案（不是故意设计为愚蠢的方案），这用于相当多的密码方案。