逆波兰式

作者：黄兢成
链接：https://www.zhihu.com/question/41103160/answer/452481026
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Wikipedia 已经说得很清楚了，我只是复述一下。

逆波兰表达式，英文为 Reverse Polish notation，跟波兰表达式（Polish notation）相对应。之所以叫波兰表达式和逆波兰表达式，是为了纪念波兰的数理科学家 Jan Łukasiewicz。其在著作中提到：

我在1924年突然有了一个无需括号的表达方法，我在文章第一次使用了这种表示法。

• 平时我们习惯将表达式写成 (1 + 2) * (3 + 4)，加减乘除等运算符写在中间，因此称呼为中缀表达式。
• 而波兰表达式的写法为 (* (+ 1 2) (+ 3 4))，将运算符写在前面，因而也称为前缀表达式。
• 逆波兰表达式的写法为 ((1 2 +) (3 4 +) *)，将运算符写在后面，因而也称为后缀表达式。

波兰表达式和逆波兰表达式有个好处，就算将圆括号去掉也没有歧义。上述的波兰表达式去掉圆括号，变为 * + 1 2 + 3 4。逆波兰表达式去掉圆括号，变成 1 2 + 3 4 + * 也是无歧义并可以计算的。事实上我们通常说的波兰表达式和逆波兰表达式就是去掉圆括号的。而中缀表达式，假如去掉圆括号，将 (1 + 2) * (3 + 4) 写成 1 + 2 * 3 + 4，就改变原来意思了。

现实中，波兰表达式和逆波兰表达式，具体用于什么地方呢？

波兰表达式（前缀表达式），实际是抽象语法树的表示方式，比如中缀 (1 + 2) * (3 + 4) 编译时转成的抽象语法树为

     *
  /    \
 +      + 
/ \    / \
1  2  3   4 

这个操作符就是根节点，操作数为左右子节点。我们将这棵树用符号表达出来，可以写成 (* (+ 1 2) (+ 3 4))。这实际就是 Lisp 的 S-表达式。S-表达式可看成将整棵抽象语法树都写出来，每层节点都加上圆括号。

至于逆波兰表示式，可用栈进行计算，天生适合于基于栈的语言。遇到数字就将数字压栈，遇到操作符，就将栈顶的两个元素取出计算，将计算结果再压入栈。比较典型的基于栈的语言为 Forth 和 PostScript。

延伸扩展一下。

我最近看了这篇文章，提高 lua 处理向量运算性能的一点尝试，原文为了减少 lua 和 C 通信的交互成本，设计了一些向量运算的指令。将 mat1、mat2 压栈，写成

command ( mat1, mat2, "*~")

来替代中缀写法

~ (mat1 * mat2)

command ( mat1, mat2, "*~") 实际就是逆波兰表达式 mat1 mat2 * ~。

再之后读了这个文章 编程珠玑番外篇-P PostScript 语言里的珠玑。