paillier

(1+n)ⁿ≡1+n·n≡1 mod n²

 

 

 

同态加密
1. 定义

一种加密算法E()和相应的解密算法D()。
⊕和⊙为某种数学运算。
如果加密算法满足：E(x + y) = E(x) ⊕ E(y)，我们将这种加密函数叫做加法同态 。
如果加密算法满足：E(x * y) = E(x) ⊙ E(y)，我们将这种加密函数叫做乘法同态 。
一个加密函数如果只满足加法同态，就只能进行加减法运算；如果只满足乘法同态，就只能进行乘除法运算；如果同时满足加法同态和乘法同态，称为完全同态。
2. 运用

    将数据处理权与数据所有权分离，使得在不解密密文的情况对密文数据进行数学运算等同于对原文数据做运算。例如：某公司要计算员工平均新增，而员工薪资是隐私数据，以密文的形式存储。利用同态加密技术可以在不解密数据的情况下计算员工平均薪资。

定义：E(x + y) = E(x) ⊕ E(y)

  原数据               密文
    x                  E(x)
    +                   ⊕
    y                  E(y)
    ‖                   ‖
  x + y            D(E(x)⊕E(y))

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9

3. 一种实现：Paillier密码体系

    Paillier加密系统，是1999年Paillier发明的概率公钥加密系统。基于复合剩余类的困难问题。该加密算法是一种同态加密，满足加法和乘法同态。

3.1 秘钥生成

    随机选择两个大质数p和q满足gcd(pq,(p−1)(q−1)=1

gcd(pq,(p−1)(q−1)=1。 这个属性是保证两个质数长度相等。
计算 n=pq
n=pq和λ=lcm(p−1,q−1)
λ=lcm(p−1,q−1)。
选择随机整数g(g∈ℤ∗n2
g∈Zn2∗​)，使得满足n整除g的阶。
定义 L(x)=(x−1)n
L(x)=n(x−1)​
计算Unexpected text node: ' '
μ=(L(gλmodn2))−1modn
公钥为 (n,g)
(n,g)
私钥为(λ,μ)

    (λ,μ)

3.2 加密

    m为原文(0≤m<n)

(0≤m<n)
选择随机数r(0<r<n,r∈ℤ∗n2
r∈Zn2∗​)，且gcd(r,n)=1
gcd(r,n)=1
加密：Unexpected text node: '&VeryThinSpace;'

    c=gm∗rnmodn2

3.3 解密

    解密：Unexpected text node: '&VeryThinSpace;'

    m=L(cλmodn2)∗μmodn

3.4 同态属性

    加法同态(两个密文的乘积将解密为它们相应的明文之和)
    Unexpected text node: '&VeryThinSpace;'

D(E(m1​)∗E(m2​)modn2)=m1​+m2​modn

同态倍增
Unexpected text node: '&VeryThinSpace;'
D(E(m1​)m2​modn2)=m1​m2​modn
Unexpected text node: '&VeryThinSpace;'D(E(m2​)m1​modn2)=m1​m2​modn
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　paillier加密算法是一种公钥加密算法，基于复合剩余类的困难问题。满足加法同态，即密文相乘等于明文相加：D(E(m₁)·E(m₂))=m₁+m₂。这里详细介绍其加密解密是如何推导的，需要具备数论、代数系统、模运算的相关知识，同时理解起来可能需要多阅读几遍并加以思考。

先将密钥生成和加解密过程罗列便于直观看

　　截图来源于：https://blog.csdn.net/sinianluoye/article/details/82855059

 

加密过程

　　在进行加解密之前，必须先产生可以用来加密的公钥n和g。n是两个大小相近的两个大素数的乘积：n=p·q。g是ℤn2

中的半随机数，同时g的阶必须在ℤ∗n2中并且能被n整除。由于g必须符合一些特殊性质（我们将在解密部分提出）所以ℤ∗n2中会有很少一部分元素不能用作g，意味着g是一个半随机数。为了简单计算，我们先选取两个小素数p=7，q=11计算得到n=p·q=77。从ℤ∗n2中选择g（g的阶必须是ℤ∗n2中元素并且是n的倍数。除此之外，g需要满足的另一个性质将会在解密时详细描述），在这里我们先选择5652作为g。因为g模n²的阶是2310且是77的倍数，并且在ℤ∗n2

中。那么g所需要的包括未清楚定义的所有性质将会被满足。至此，我们找到了用来实际加解密运算过程的公钥（n，g）。随着公钥发布，任何人都能使用公钥加密数据并将密文传给私钥持有者。整个过程可用图一表示。

计算实例	公式
明文m=42 随机数r=23 c ≡ (5652)42·(23)77mod 5929   ≡ (4019)(606) ≡ 4624 mod 5929	创建明文消息m，m∈ℤn 随机选择非零整数 r∈ℤ∗n

 

计算密文c ≡ g^m·rⁿ mod n²

 

图1：n = 77, g = 5652时paillier系统加密

c是加密信息，私钥持有者解密时无需了解r的值。

解密过程

　　在已知p，q和g的情况下，任何人都可以将收到的加密消息c解密。我们注意到在已知p，q的情况下，卡迈克尔公式λ(n) = lcm[(p – 1)(q – 1)]很容易计算。我们也注意到，如果g ∈ ℤn2

，就像我们之前选作公钥的g，卡迈克尔定理保证g^λ(n) ≡ 1 mod n成立。卡迈克尔定理表明如果两个整数a和n互质，那么关系式 a^λ(n)≡ 1 mod n。因为g是模n²的单元，显然与n²互质，意味着g与n也是互质的。在这个基础上，卡迈克尔定理成立。解密时，忽略密文c的值，对于所有使用公钥对(n, g)进行的解密，计算g^λ(n)mod n²都是必要的。g^λ(n) mod n²计算得到的值是ℤn2

中的一个元素，由卡迈克尔定理可知，该值 ≡ 1 mod n。如果我们从结果值中减1得到的值可以被n整除。计算过程如图2。

计算实例	公式
λ(77) = lcm(6, 10) = 30  L(565230mod 5929) = L(3928) L(3928) = (3928 – 1)/77 = 3927/77 = 51	定义 L(u) = (u – 1)/n  计算L(gλ(n)mod n2)= k
图2:已知n2=5926，g=5652计算L(gλ(n) mod n2)

g^λ(n) mod n²的结果可以看作一个大于等于0，严格小于n²的数，因此 g^λ(n) mod n² -1 除以n之后的结果k大于等于0，严格小于n，也就是说k∈Z_n。因为n=p·q，只要k mod n的结果不是p或q的倍数，k会有逆，所以k∈ℤ∗n

。这个性质是之前在加密阶段提到的g需要符和未定义的性质。如果 g^λ(n) mod n²的结果模n的值k是p或q的倍数，这个g必须被丢弃。在发布g之前先检查g是否符合要求，如果不符合就舍弃重新选择。现在我们假设随机选择的g符合条件即g∈ℤ∗n2,g的阶∈ℤ∗n2

,k不是p或q的倍数（k存在模n的逆），接下来就可以计算µ ≡ k^-1mod n,如图3所示。在解密过程中，公钥(n, g)相同的情况下，计算得到的µ值总是相同的，也是必不可少的。

计算实例	公式
µ ≡ 51-1≡74 mod 77	计算 µ ≡ k-1mod n
图3：µ，L(gλ(n) mod n2)在ℤ∗n

中的逆在

解密过程中非常重要。这里n=77，L(g^λ(n) mod n²)

所有人在解密过程中必须计算m ≡ L(g^λ(n) mod n²)·µ mod n，如图4所示。

计算实例	公式
m ≡ L(462430≡ 4852mod 5929)·74 mod 77  m ≡ 63·74 ≡ 4662 ≡ 42 mod 77	m ≡ L(cλ(n) mod n2)·µ mod n
图4：paillier加密系统解密过程。  这里n = 77， c ≡ 4624 mod n，µ ≡ 74 mod n

加解密中的数学原理

　　为了理解解密过程，我们首先介绍一个公式

εg:ℤn∗ℤ∗n→ℤ∗n2

 

εg(x,y)→gx∗ynmodn2

 

定义ε_g(m, r) 是使用随机数对m进行加密的加密公式。回想一下在加密阶段选择g的时候，我们要求g模n²的阶必须是n的倍数。如果g符合这个条件，则ε_g是双射的。我们将引用下边的引理来证明这个结论。

　　引理：两个阶相同的有限集A、B构成的函数f：A→

B是满射的当且仅当这个函数是单射的。

　　定理：如果g的阶是n的非零倍数，则对于 ε_g(x, y) ≡ g^x·yⁿ mod n² 来说ε_g是双射的。

　　证明：假设g的阶是n的非零倍数。我们知道|ℤ∗n2

|=φ(n²) = n·φ(n)=| ℤ_n x ℤ∗n|，意味着ℤ∗n2和 ℤn x ℤ∗n

拥有相同个数。基于上边的引理如果ε_g是单射的，它也是满射的。因此，我们证明了ε_g是单射的可以充分的证明它也是双射的。

　　假设 g^x₁·y₁ⁿ≡g^x₂·y₂ⁿ·mod n²。我们可以得到 g^x₁-x₂·(y₁/y₂)ⁿ ≡ 1·mod n²。等式两边同时取λ(n)次幂，得到 g^{λ(n)·(x₁-x₂)}·(y₁/y₂)^n·λ(n) ≡ 1·mod n²。卡迈克尔定理表明ℤ∗n2

中的元素，取λ(n)次幂模n与1同余。该定理同时也表明ℤ∗n2中的元素，取n·λ(n)次幂模n²与1同余。y₁和y₂^-1都是ℤ∗n2中的元素，所以他们的乘积y₁/y₂也是ℤ∗n2

中的元素，由此我们可以得到 (y₁/y₂)^n·λ(n) ≡ 1·mod n²，所以 g^{λ(n)·(x₁-x₂)}·(y₁/y₂)^n·λ(n) ≡ g^{λ(n)·(x₁-x₂)} ≡ 1·mod n²。

以上证明表示 λ(n)·(x₁-x₂) 是g的阶的倍数。最开始的时候我们已经假设g的阶是n的非零倍数，所以 λ(n)·(x₁-x₂) 也是n的倍数。由于 λ(n)·(x₁-x₂) 可以被n整除，并且GCD(λ(n), n)=1，我们可以得出n整除x₁-x₂或者说x₁-x₂模n与0同余。而且x₁和x₂是 ℤ_n中的元素，它们的模n同余可以保证他们是相等的。

让我们再回到方程式 g^x₁-x₂·(y₁/y₂)ⁿ ≡ 1·mod n²，当x₁=x₂时，我们得到 (y₁/y₂)ⁿ ≡ 1·mod n²，继而y₁ⁿ≡y₂ⁿ。当y₁与y₂模n同余时，上式成立。

所以根据y₁,y₂ ∈ ℤ∗n

，我们得到了x₁=x₂。

　　这意味着，给出任何一个属于ℤ∗n2

的元素w，当n选定之后，选择一个符合要求的g，加密结果ε_g(x, y)≡w mod n²是独一无二的。为了便于标注，我们指定ε_g(x, y) ≡ g^x·yⁿ≡ w mod n²，定义[w]_g为ℤ_n中唯一与之对应的元素x, 即[w]_g =x。

　　因为ε_g可以映射到ℤ∗n2

中所有元素，而且g本身也是ℤ∗n2中的一个元素，因此我们可以找到ℤ∗n2

中另一个阶是n的非零倍数的元素t能够通过相同计算得到g。

ℤ_n²中元素(1+n)的幂

基于(1+n)∈ℤ∗n2

:        (1+n)²≡1+2n+n²≡1+2n mod n²

                            (1+n)³≡1+3n+n³≡1+3n mod n²

                                  (1+n)^v≡1+v·n+[n的高次幂]≡1+v·n mod n²

   

图5:(1+n)^v和1+v·n模n同余

如图5所示，(1+n)ⁿ≡1+n·n≡1 mod n²。很明显，n本身是n的一倍，也是(1+n)的阶，并且(1+n)^n-1是它在ℤ∗n2

中的逆(表明(1+n)∈ℤ∗n2

)。(1+n)符合t要求的性质，所以我们可以计算[g]_(1+n)。也就是说g≡ε_(1+n)(t,z)≡(1+n)^t·zⁿ mod n²，t=[g]_(1+n)。

当我们加密信息m时，密文 c≡ε_g(m, r) ≡ g^m·rⁿ mod n²,我们之前刚刚证明g可以表示为g≡ε_(1+n)([g]_(1+n),z)≡(1+n)^[g](1+n)·zⁿ mod n²。使用g的表达式来代替g，我们可以得到：

　　　c≡g^m·rⁿ≡[(1+n)^[g](1+n)·zⁿ]^m·rⁿ mod n²

≡(1+n)^m[g]_(1+n)·z^mn·rⁿ mod n²

≡(1+n)^m[g]_(1+n)·(z^m·r)ⁿ mod n²

由z∈ℤ∗n

, 可知z^m∈ℤ∗n，由r∈ℤ∗n，可知z^m·r∈ℤ∗n

，所以

c≡ε_(1+n)(m·[g]_(1+n), z^m·r) mod n²

c可以表示为[c]_(1+n)≡m·[g]_(1+n)，即m≡[c]_(1+n)·{[g]_(1+n)}^-1 mod n([c]_(1+n)是ℤ_n中元素，所以模n²与模n同余)。

由上述结果可知，无论c为何值，[g]_(1+n)的逆是一个定值。解密c需要计算[c]_(1+n)，并将结果与定值[g]_(1+n)的逆相乘并模n。在解密时，我们计算了µ ≡ L(g^λ(n)mod n²)^-1 mod n，并声明这是一个和m，c或者r都无关的对于解密来说很必要的定值。结合上述证明我们有了µ的另一种形式 µ≡（L(g^λ(n) mod n²)^-1 ≡ {λ(n)·[g]_(1+n)}^-1 mod n。现在让我们看看密文如何回到明文。

g^λ(n) mod n²：

g^λ(n) ≡ [(1+n)^[g]_(1+n)·zⁿ]^λ(n)·z^nλ(n) mod n²

因为z∈ℤ∗n2

，由卡迈克尔定理可知z^nλ(n) ≡ 1 mod n²。可得：

g^λ(n) ≡ (1+n)^{λ(n)[g]_(1+n)} mod n²

　　　　　　　　　　≡1+λ(n)·[g]_(1+n)·n+[n的高次幂] mod n²

　　　　≡1+λ(n)·[g]_(1+n)·n mod n²

现在将g^λ(n) mod n² 代入L(u)(L(u)=(u-1)/n):

L(g^λ(n) mod n²)≡L(1+λ(n)·[g]_(1+n)·n)mod n

　　　　　　　　≡{1+λ(n)·[g]_(1+n)·n-1}/n mod n

　　　　　　≡{λ(n)·[g]_(1+n)·n}/n mod n

　　　≡λ(n)·[g]_(1+n) mod n

所以 L(g^λ(n)mod n²) ≡ λ(n)·[g]_(1+n) mod n，µ ≡ L(g^λ(n) mod n²)^-1 ≡ {λ(n)·[g]_(1+n)}^-1 mod n，我们同样可以用卡迈克尔定理简化L(c^λ(n)mod n²)：

c^λ(n) mod n²:

　　c^λ(n)≡[(1+n)^[c]_(1+n)·dⁿ]^λ(n) mod n²

　　　  ≡[(1+n)^[c]_(1+n)·d^nλ(n) mod n²

≡(1+n)^[c]_(1+n) mod n²

　　　　　　　 　≡1+λ(n)·[c]_(1+n)·n+[n的高次幂] mod n²

　　 ≡1+λ(n)·[c]_(1+n)·n mod n²

所以:

L(c^λ(n) mod n²)≡L(1+λ(n)·[c]_(1+n)·n) mod n

　　　　　　　　≡{1+λ(n)·[c]_(1+n)·n-1}/n mod n

　　　　　　≡{λ(n)·[c]_(1+n)·n}/n mod n

　　　≡λ(n)·[c]_(1+n) mod n

可得:µ ≡ L(g^λ(n) mod n²)^-1 ≡ {λ(n)·[g]_(1+n) mod n，L(c^λ(n) mod n²) ≡ λ(n)·[c]_(1+n) mod n。即L(c^λ(n) mod n²)·µ ≡ λ(n)·[c]_(1+n)·λ(n)^-1·[g]_(1+n)^-1 ≡ [c]_(1+n)·[g]_(1+n)^-1 ≡ m mod n。

我们注意到，对于给定公钥(n，g)，µ总是相等的，只需要计算一次。意味着解密过程包含一个指数幂模n²，和固定值L(µ)相乘的结果模n。使得解密变成一个计算复杂度是指数幂模n²相对简单的过程。

paillier加密系统的加法同态

　　通过paillier加密系统加密的两个消息相乘的结果解密后得到的是两个消息相加的结果。

两个密文c₁ ≡ g^m1·r₁ⁿ mod n² , and c₂ ≡ g^m2·r₂ⁿ mod n²

c1·c2≡ g^m1·g^m2·r₁ⁿ ·r₂ⁿ mod n²⇒ c1·c2 ≡g^m1·g^m2·r₁ⁿ ·r₂ⁿ ≡ g^m1+m2·(r₁·r₂₎ⁿmod n²

r₁和r₂都是ℤ∗n2

中元素，，因此r₁·r₂也属于ℤ∗n2

，并且具有相同的性质，所以此处的值是r₁还是r₂亦或是r_i并不重要，c1·c2可以看作是m=m1+m2加密的密文，c1·c2的解密结果为m。

 

总结

以上原理的讲解比较复杂与繁琐，这里总结一下上文中加解密推导的主要思路。

1.参数选择要求

2.加密实例

3.证明双射的条件

4.继而证明明文与密文是一一对应的

5.找到密文的原射，用以代入，可以推出一个解密得到的明文的表达式子

6.由于g也属于密文空间内，找到g的原射，把g用原射表示代入

7.把g的原射表达式代入µ，得到µ的另一种表达式

8.用正常的解密方式把之前的各种代换代入，得到和之前第5步找到的解密明文表达方式相等，证明解密方式是正确的。