chinesert

https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/79669723

（很久）之前就已经接触过CRT

我们先看简单的CRT

$x \equiv a_{1} (m o d m_{1})$

$x \equiv a_{2} (m o d m_{2})$
$x \equiv a_{3} (m o d m_{3})$
$. . .$
$x \equiv a_{k} (m o d m_{k})$
其中 $m_{1}, m_{2}, . . ., m_{k}$ 两两互质，求在 $m o d \prod m_{i}$ 意义下的 $x$

这种CRT可以说是最基础的了
设 $M = \prod_{i = 1}^{k} m_{i}$

对于每一个方程， $M_{i} = \frac{M}{m_{i}}$
设 $t_{i} = M_{i}^{- 1}$ （逆元）
$t_{i} M_{i} = 1 (m o d m_{i})$
$x$ 的通式形式为：
$x = a_{1} t_{1} M_{1} + a_{2} t_{2} M_{2} + . . . a_{k} t_{k} M_{k} + k M = k M + \sum_{i = 1}^{k} a_{i} t_{i} M_{i}$

在模M的意义下，方程组只有一个解：

x = \sum i = 1 k a i t i M i

ll x,y;

void exgcd(ll a,ll b) {
    if (!b) {
        x=1; y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
}

ll CRT() {
    ll M=1,ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) M*=m[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        ll Mi=M/m[i];
        exgcd(Mi,m[i]);
        ans+=x*Mi*a[i]; ans%=M;
    }
    return ans; 
}

注意这里求逆元的方式是exgcd
不过要使用ta的前提条件是 $g c d (a, b) = 1$

（exgcd求解的方程等式右边一定是 $g c d (a, b) * k$

）

进阶版

如果不满足m两两互质，我们采用合并同余方程的方法将方程两两合并

$x = a_{1} (m o d m_{1}) (0)$

$x = a_{2} (m o d m_{2})$

两个方程可以写成
$x = m_{1} * t_{1} + a_{1} (1)$

$x = m_{2} * t_{2} + a_{2}$

$m_{1} t_{1} + a_{1} = m_{2} t_{2} + a_{2}$

$m_{1} t_{1} = (a_{2} - a_{1}) + m_{2} t_{2}$
$m_{1} t_{1} = (a_{2} - a_{1}) (m o d m_{2})$

显然，想要有解，必有 $g c d (m_{1}, m_{2}) | (a_{2} - a_{1})$

设 $g c d (m_{1}, m_{2}) = d, c = a_{2} - a_{1}$

，则有：

$\frac{m_{1}}{d} t_{1} = \frac{c}{d} (m o d \frac{m_{2}}{d})$

$t_{1} = \frac{c}{d} (\frac{m_{1}}{d})^{- 1} (m o d \frac{m_{2}}{d})$
$令 K = \frac{c}{d} (\frac{m_{1}}{d})^{- 1}, 则 t_{1} = y \frac{m_{2}}{d} + K, 将其带入 (1) 得$

$x = m_{1} (y \frac{m_{2}}{d} + K) + a_{1}$

$= \frac{m_{1} m_{2}}{d} y + m_{1} K + a_{1}$

即：
$x = m_{1} K + a_{1} (m o d \frac{m_{1} m_{2}}{d})$

$x = a (m o d n) (2)$

式 $(2)$

中
$a = m_{1} K + a_{1}, n = \frac{m_{1} m_{2}}{d}$

这样，成功的将 $(0)$

式的两个方程合并为式 $(2)$
最终，合并 $k$ 个方程的最小 $x$ 值为 $a % n$

ll x,y,d;

void exgcd(ll a,ll b) {
    if (!b) {
        d=a;x=1;y=0;       //d gcd
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
}

ll CRT() {
    while (scnaf("%d",&n)!=EOF) {
        ll a1,a2,m1,m2;
        bool ff=1;
        for (int i=1;i<=n;i++) {
            if (i==1) {
                scanf("%lld%lld",&a1,&m1);    //x=a (mod m)
                continue;
            }
            scanf("%lld%lld",&a2,&m2);
            exgcd(m1,m2);
            if ((a2-a1)%d) ff=0;              //gcd(m1,m2)|(a2-a1)
            x=x*((a2-a1)/d);
            ll p=m2/d;                        //1式 
            x=(x%p+p)%p;
            a1=a1+m1*x;                       //新余数 
            m1=m1/d*m2;                       //新模数  m1m2/d 
            a1=(a1%m1+m1)%m1;                 //2式 两次取模保证是最小整数解 
        }
        if (ff) printf("%lld\n",a1);
        else printf("-1\n");
    }
}

posted @ 2020-03-19 15:29 zJanly 阅读(161) 评论(0) 编辑收藏举报

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