算法的时间与空间复杂度

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衡量算法在运算过程中消耗的时间和资源（一般指空间资源）

时间维度：是指执行当前算法所消耗的时间，我们通常用「时间复杂度」来描述。

空间维度：是指执行当前算法需要占用多少内存空间，我们通常用「空间复杂度」来描述

一，时间复杂度

       大O符号表示法 ：  T(n) = O(f(n))

       其中f(n) 表示每行代码执行次数之和，而 O 表示正比例关系，这个公式的全称是：算法的渐进时间复杂度。

   例：下例时间复杂度为O(n)

for(i=1; i<=n; ++i)
{
   j = i;
   j++;
}

假设以上代码每行的执行时间相同，都是1个颗粒时间，那么第1行耗时一个颗粒时间，第2,5行为符号忽略，第3行的执行时间是n颗粒时间，第四行也是n颗粒时间，即总时间是

（1+2n）个颗粒时间，即T(n) = (1+2n)*颗粒时间，算法的时间是随n的变化变化，可以简化为T(n) = O(n)。

为什么可以这么去简化呢，因为大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的

如果n无限大的时候，T(n) = time(1+2n)中的常量1就没有意义了，倍数2也意义不大。因此直接简化为T(n) = O(n) 

常见的时间复杂度量级有：

• 常数阶O(1)
• 对数阶O(logN)
• 线性阶O(n)
• 线性对数阶O(nlogN)
• 平方阶O(n²)
• 立方阶O(n³)
• K次方阶O(n^k)
• 指数阶(2^n)

上面从上至下依次的时间复杂度越来越大，执行的效率越来越低。

1.常数阶O(1)

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)，上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，

那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

2.对数阶O(logN)

int i = 1;
while(i<n)
{
    i = i * 2;
}

在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了，假设循环x次之后，i 就大于 n了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2^n，也就是说当循环 log2^n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(logn)

3.线性对数阶O(nlogN)

 线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。

for(m=1; m<n; m++)
{
    i = 1;
    while(i<n)
    {
        i = i * 2;
    }
}

4.平方阶O(n²)

 平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。

for(x=1; x<=n; x++)
{
   for(i=1; i<=n; i++)
    {
       j = i;
       j++;
    }
}

这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即 O(n²)
如果将其中一层循环的n改成m，即：

for(x=1; x<=m; x++)
{
   for(i=1; i<=n; i++)
    {
       j = i;
       j++;
    }
}

那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

平均时间复杂度、均摊时间复杂度、最坏时间复杂度、最好时间复杂度 的分析方法后续补充

二，空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的一个量度，同样反映的是一个趋势，我们用 S(n) 来定义，

空间复杂度比较常用的有：O(1)、O(n)、O(n²)

1.空间复杂度O(1)

如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

代码中的 i、j、m 所分配的空间都不随着处理数据量变化，因此它的空间复杂度 S(n) = O(1)

2.空间复杂度O(n)

int[] m = new int[n]
for(i=1; i<=n; ++i)
{
   j = i;
   j++;
}

第一行new了一个数组出来，这个数据占用的大小为n，这段代码的2-6行，虽然有循环，但没有再分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)