ABC 362

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$$\large\textbf{Solution}$$

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$$\text{Buy a Pen}$$

A
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模拟。

小技巧：用 pair 来处理类似问题很方便

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$$\text{Right Triangle}$$

B
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题意: 给定三个不共线的点, 判断这三个点生成的三角形是否是直角三角形.

考虑向量法。把三个点两两相减找到构成三角形的三条边所对应的向量，然后用向量点乘的方法判断是否存在两条邻边垂直。

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$$\text{Sum = 0}$$

C
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题意: 给定 $n$ 个数对 $(L_i,R_i)$, 问是否能构造 $\{A_n\}$, 使得 $\forall i \in [1,n]$, $L_i \le A_i \le R_i$, 有 $\sum A = 0$. 并给出构造方式.

性质:

1. 首先发现令 $A_i = L_i$ 时, 所得的和 $\sum A$ 必然最小.

2. 同理令 $A_i=R_i$ 时, $\sum A$ 必然最大.

3. 以性质 $1$ 的条件为初始状态, 若干次进行操作“对于某个 $i$ 满足 $A_i<R_i$, $A_i$ 自增 $1$”, 可以使得 $\sum A$ 遍历 $[L_i,R_i]$ 中的所有数.

因此，以下关系成立

能构造 ${ A_i }$， 使得 $\sum A =0$ $\Leftrightarrow$ $L_i \le 0 \le R_i$

至于构造方式呢，直接模拟遍历过程即可

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$$\text{Shortest Path 3}$$

D
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题意: 既有点权又有边权的单源最短路径. (权值非负)

对于一条完整的路径，我们把每一条边的终点的点权转到这条边上，就可以直接在边权上跑了。

比如说对于一条边 $(u,v,w)$, $\operatorname{val} [u]$, $\operatorname{val} [v]$, 我们建边的时候这样建就行了:

add_edge(u,v,w+val[v]);
add_edge(v,u,w+val[u]);

然后直接 dijkstra 跑一遍就行了，注意不要忘了加上 $\operatorname{val} [1]$ 的贡献。

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$$\text{Count Arithmetic Subsequences}$$

E
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题意: 给你 $\{a_n\}$, 对于所有的 $k\in[1,n]$, 求出 $\{a_n\}$ 中长度为 $k$ 的等差数列的数量. (元素组成相同但位置不同算作不相同)

考虑 $O(n^3)$ 的 dp.

1. 设 $\operatorname{dp_{i,k,gap}}$ 表示以第 $i$ 个元素作为结尾时可以构造的长度为 $k$ 公比为 $gap$ 的等差数列的个数.

2. 先 $O(n^2)$ 枚举 $k=a_i-a_j (i > j)$, 然后可以从 $\operatorname{dp_{j,k,gap}}$ 刷表到 $\operatorname{dp_{i,k+1,gap}}$

3. 边界条件 $\operatorname{ dp_{i,1,gap}=1 }$, 刷表的同时赋值即可.

注意取模。

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