Data Structure - Heap(堆)

定义

堆是一棵树，
且每个节点都有权值，
每个节点都大于等于/小于等于其父节点的权值。

堆的分类

习惯上，不加限定提到「堆」时往往都指二叉堆。

堆专题选讲——二叉堆

结构

从二叉堆的结构说起，它是一棵完全二叉树，每个结点都有权值。

性质

父亲的权值不小于儿子的权值称为小根堆。同样的，我们可以定义大根堆。本文以小根堆为例。

操作——插入

插入操作是指向二叉堆中插入一个元素，
要保证插入后也是一棵完全二叉树。
最简单的方法就是，最下一层最右边的叶子之后插入。
如果最下一层已满，就新增一层。

但是，插入之后可能会不满足堆性质。

上浮：如果这个结点的权值大于它父亲的权值，
就交换，重复此过程直到不满足或者到根。
可以证明，插入之后向上调整后，
没有其他结点会不满足堆性质。
上浮的时间复杂度是 $O(\log n)$ 的。

操作——删除

删除操作指删除堆中最大的元素，即删除根结点。

但是如果直接删除，则变成了两个堆，难以处理。

我们通常采用的方法是，把根结点和最后一个结点直接交换。
于是直接删掉（在最后一个结点处的）根结点，但是新的根结点可能不满足堆性质……

下沉：在该结点的儿子中，找一个最大的，与该结点交换，重复此过程直到底层。
可以证明，删除并下沉后，
没有其他结点不满足堆性质。
时间复杂度 $O(\log n)$。

操作——修改权值

很显然，直接修改后，上浮一次即可，时间复杂度为 $O(\log n)$。

模板

template<typename _Tp,typename _Compare=less<vector<_Tp>>>
class binary_heap{
	protected:
		vector<_Tp> heap;
	public:
		void insert(const _Tp _val){
			heap.push_back(_val);
			push_heap(heap.begin(),heap.end(),_Compare());
		}
		void erase(){
			heap.pop_back();
			pop_heap(heap.begin(),heap.end(),_Compare());
		}
		_Tp head() const {
			return heap.front();
		}
		bool empty(){
			return heap.empty();
		}
		size_t size(){
			return heap.size();
		}
		size_t length(){
			return heap.length();
		}
};

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STL中的二叉堆——优先队列

优先队列底层使用堆实现，实际上相当STL中的二叉堆。
使用方法：
priority_queue<typename _Tp,
typename _Sequence = vector<_Tp>,
typename _Compare = less<typename
_Sequence::value_type>>
其中_Tp代表数据类型，_Sequence代表容器类型，_Compare代表大顶堆或小顶堆，缺省值为大顶堆。