构造加逊
Make It Connect
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题意
给定一个无向图 \(E\) ，每次操作需要选择一个点 \(u\) ，然后对其余的的所有点 \(v\) 进行操作，如果 \((u, v)\in E\) 则删去这条边，否则将这条边加入图中，求最少几次类似操作能够使得图联通并输出操作方案
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做法
首先统计联通块数量以及各点的度数
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当原图为连通图时，答案显然为 \(0\) 。
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当图中存在一个度数为 \(0\) 的点，答案显然为 \(1\) 。
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当存在一个连通块不是团时，答案也为 \(1\) 。
在该连通块中找到任意一个度数小于该连通块大小减一的非割点，并对其进行操作。因为不是团，因此在操作后依然保证原有连通块的联通，且能与其他连通块连边，固操作正确性有保障。
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当存在三个及以上的连通块时，答案为 \(2\) 。
第一步为任选一个点进行操作，此时连通块的数量显然为会变成 \(2\) ，并且其中一定有一个连通块不是团，此时即为上一种情况，不再赘述。
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最后一种情况，两个连通块均为团，答案为较小连通块的大小。
操作为对小连通块中每个点均进行操作，正确性不难证明。
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Range = √Sum
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题意
给定一个 \(n\) ，构造一个长度为 \(n\) 的无重复数字的数列，且对于任意 \(i\) 满足 \(1\leq a_i \leq 10^9\) ，且有
\[\max\limits_{1\leq i\leq n}\{a_i\} - \min\limits_{1\leq i\leq n}\{a_i\} = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^na_i} \] -
做法
对于 \(n\) 分奇偶讨论，讨论时规定 \(d\) 为极差， \(S\) 为数列中各元素和。
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当 \(n\) 为奇数的时候
1.先以 \(n\) 作为中位数构造一个公差为 \(1\) 的等差数列
\[d = n - 1, S = n ^ 2 \]2.将全部数字 \(+2\)
\[d = n - 1, S = n^2 + 2n \]3.将非首尾的任意元素 \(+1\)
\[d = n - 1, S = n^2 + 2n + 1 \]4.将首尾元素分别 \(\mp1\)
\[d = n + 1, S = n^2 + 2n + 1 =(n + 1)^2 \] -
当 \(n\) 为偶数时
1.考虑直接构造首项为 \(\frac{n}{2}\) ，公差为 \(1\) 的等差数列
\[d = n-1, S = n^2-\frac{n}{2} \]2.从第 \(\frac{n}{2}+1\) 项开始，使得后面全体元素 \(+1\)
\[d=n,S=n^2 \]
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Equal Tree Sums
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题意
给定一个 \(n\) 个点的树，为每一个树赋一个绝对值不大于 \(10^5\) 的点权，使得任意一个点被移除后，剩余连通块的权值和均相等。
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做法
对树进行黑白染色，考虑树上一点 \(u\) ，若为黑点则权值为 \(-deg_u\) ，白点则权值为 \(deg_u\) 。
正确性不难证明，首先明确每条边会对该边的两端点有 \(\pm1\) 的贡献，因此全树的点权和为 \(0\) 。对于度数为 \(x\) 的一点，在将其删去后树会变为 \(x\) 个连通块，他对于每个连通块的贡献也一定是 \(\pm1\) ，因此最后剩余连通块的权值能够保证相等。
Diane
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题意
构造一个长度为 \(n\) 的字符串，使得全部子串的出现次数均为奇数。
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做法
考虑一个长度为 \(n\) 的全 \('a'\) 串，其长度为 \(k\) 的子串会出现 \(n - k + 1\) 次，对 \(n\) 分奇偶讨论，可以得出
\[\begin{cases}奇数长度子串出现奇数次，偶数长度子串出现偶数次 & n\;是奇数\\奇数长度子串出现偶数次，偶数长度子串出现奇数次 & n\;是偶数\end{cases} \]那么我们可以考虑将 \(n\) 拆分为两部分，一部分为奇数长度的全 \('a'\) 串，另一部分为偶数长度的全 \('a'\) 串，实现也很简单，只需要在两个全 \('a'\) 串中间插入非 \('a'\) 字符即可。
Strange Housing
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题意
给一个 \(n\) 个点， \(m\) 条边的图，考虑对 \(n\) 个点黑白染色，要求每条边两边的点为异色，不满足的边将被删除，求任意一个能保证 \(n\) 个点联通的方案。
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做法
首先需要明确的是，如果原图不是连通图答案为
NO，否则为YES。显然我们可以通过找到生成树后进行黑白染色构造可行解，可以通过 bfs 来实现，如果当前点的邻居存在被染色的，那么无需对该点染色，否则需要对该点染色。
