RSA加密

详解RSA加密：

1、密码学

• 密码学是指研究信息加密，破解密码的技术科学。密码学的起源可追溯到2000年前。而当今的密码学是以数学为基础一步一步发展来的。
• 密码学的历史大致可以追溯到两千年前，相传古罗马名将凯撒大帝为了防止敌方截获情报，用密码传送情报。凯撒的做法很简单，就是对二十几个罗马字母建立一张对应表。这样，如果不知道密码本，即使截获一段信息也看不懂。从凯撒大帝时代到上世纪70年代这段很长的时间里，密码学的发展非常的缓慢，因为设计者基本上靠经验。没有运用到数学原理。
•  在1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候，彼此通信的双方就必须将规则告诉对方，否则没法解密。那么加密和解密的规则（简称密钥），它的保护就显得尤其重要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被称为对称加密算法（symmetric encryption algorithm）。
• 1976年，两位美国计算机学家迪菲、赫尔曼提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换”算法。开创了密码学的研究新方向。

 

• 1977年三位麻省理工学院的数学家罗纳德-李维斯特（Ron Rivest）、阿迪-萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德-阿德曼（Leonard Adleman）一起设计了一种算法，可以实现非对称加密。这个算法用他们三个人的名字命名，叫RSA算法。

2、RSA数学原理

• 上世纪70年代产生的一种加密算法。其加密方式比较特殊，需要两个密钥：公开密钥简称公钥（publickey）和私有密钥简称私钥（privatekey）。公钥加密，私钥解密；私钥加密、公钥解密。这个加密算法就是伟大的RSA。
• 思考一：任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系（互质：如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因数，我们就称这两个数是互质关系）。计算这个值的方式叫做欧拉函数，使用φ(n)表示：

如：

计算8的欧拉函数，和8互质的1、2、3、4、5、6、7、8

φ(8)=4

计算7的欧拉函数，和7互质的1、2、3、4、5、6、7

φ(7)=6

计算56的欧拉函数

φ(56)=φ(7)*φ(8)=24

• 欧拉函数的特点

当n是质数的时候，φ(n) = n - 1.

如果n可以分解成两个互质的整数之积，如n = A*B则：

φ(A*B) = φ(A)*φ(B)

根据以上两点得到：

如果N是两个质数P1和P2的乘积则

φ(N) = φ(P1) * φ(P2) = (P1 - 1) * (P2 - 1)

欧拉定理：如果两个正整数m和n互质，那么m的φ(n)次方减去1，可以被n整除

 

 

 费马小定理：欧拉定理的特殊情况：如果两个正整数m和n互质，而且n为质数，那么φ(n)结果就是n - 1

 

 因式转换

 

 模反元素：如果两个正整数e和x互质，那么一定可以找到整数d，使得ed - 1被x整除。那么d就是e对于x的“模反元素”

 

 举例：

 

 原理：

 

 RSA的诞生：

 

 

 

 3、终端演示

Mac的终端可以直接使用OpenSSL进行RSA的命令运行。

由于Mac系统内置OpenSSL，所以我们可以直接在终端上使用命令来玩RSA。OpenSSL中的RSA算法常用指令主要有三个：