[笔记] 根号算法

引子

张队药学根号算法。。也不知怎样勾起了我的兴趣。。。
借鉴了 *Miracle* 的思想

根号算法是一种很常见的算法
常见的根号思想有：双向搜索、根号分类讨论、根号重建、复杂度平衡，以及一些根号级别的数据结构如分块和莫队
这些算法一般是多种暴力算法的结合，一般具有较低的思维难度和编码难度
——ImmortalCO猫

根号分类讨论

（下面两道题都是跟图论有关的）

好像这个也算

一个想法

（From the_Death的课件）
当时说随机数据是 \(n\sqrt n\) 的，现在想想好像也可以做到稳定 \(n\sqrt n\)。
我们按点的度数对点分类，若点 \(u\) 的度数 \(d[u]>\sqrt n\) ，称为大点；反之称为小点。
我们预处理出与每个点相连的大点的集合 \(S(u)\) ,显然 \(\forall u,|S(u)|<=\sqrt n\)
然后对于每个点维护两部分答案：一部分是与每个点相连的小点的答案，另一部分我们暴力统计 \(v\in S(u)\) ，每个 \(v\) 的状态。
修改时，如果 \(u\) 是一个小点，我们修改与他相连的所有点即可；如果他是一个大点，我们只修改他的状态即可。

能量石（From *Miracle*）

详见原博客

下面的两个部分其实都是平衡复杂度。

与模数&倍数有关的

当 \(x>\sqrt n\) 时，倍数只有 \(\sqrt n\) 种。
当 \(x\leq \sqrt n\) 时，模意义下不同的数只有 \(\sqrt n\) 种。

街灯

每个街灯上都有一个数，每次询问，第 \(l\) 个街灯到第 \(r\) 个街灯上的数模 \(p\) 等于 \(v\) 的有几个。
\(1≤N,M≤10^5\) ,街灯上的数不超过 \(10^4\) , \(1≤p≤10^9\)。

对于每个询问，我们根据 \(p\) 的大小分类讨论。
考虑如何平衡修改与查询的复杂度，我们可以每次花 \(O(100)\) 处理出一个数对 \(p\leq 100\)时的答案，查询时直接使用答案。
当 \(p > 100\) ，他的倍数很少，我们可以直接查 \(k*p+v\) 出现了几次（之前开个桶）。

还是一个想法

给你一个集合，边往里面插数，边查询集合中大于某个数 \(x\) 的数的数量。
三种数据范围：
1.插入较多 \(5e7\) ，查询较少 \(1e5\)。
2.插入中等 \(1e6\) ，查询中等 \(1e6\)。
3.插入较少 \(1e5\) ，查询较多 \(5e7\)。
值域 \(1e6\)

我们对于 2 ，直接树状数组即可QwQ。
我们对于 1 3 ，可以分块。
我们都是维护块内前缀和，然后在维护一个块间前缀和。
对于 1 ，我们可以 \(O(1)\) 插入，修改所属块和对应的桶即可， \(O(\sqrt n)\)查询。
对于 3 , 我们可以 \(O(\sqrt n)\) 插入，修改所属块，对应的桶，并计算前缀和，\(O(1)\) 查询。

跟集合有关的运算

我们定义 \(f[A][B]\) 为 二进制表示下 前8位位\(A\) 的子集，后8位为 \(B\) 的数的个数。
添加时枚举超集，查询时枚举子集。

2019.11.20 coming back