BZOJ 2440 [中山市选2011]完全平方数 二分+容斥

直接筛$\mu$？+爆算？再不行筛素数再筛个数？但不就是$\mu^2$的前缀和吗？

放。。。怕不是数论白学了$qwq$

 

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思路：二分+容斥

提交：两次（康了题解）

题解：

首先答案满足二分性质（递增），然后就是如何快速$ck()$

首先观察到，$\lfloor \frac{n}{i^2} \rfloor$是$i^2$筛出来的完全平方数（和其倍数）的个数，但是显然这么筛会筛重一些数。

于是：容斥叭$qwq$

考虑如何配系数：所有数-被一个素因子的平方筛掉的+被两个素因子的平方筛掉的-被三个素因子的平方筛掉的+。。。

奇负偶正？

这不是$\mu$吗？

好的，筛出$\mu$，$sqrt(2*k)$(然鹅我也不知道为什么$2*k$是上界)的；然后二分答案。

$O(T*logn*\sqrt{n})$

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ull unsigned long long
#define ll long long
#define R register ll
#define pause (for(R i=1;i<=10000000000;++i))
#define In freopen("NOIPAK++.in","r",stdin)
#define Out freopen("out.out","w",stdout)
namespace Fread {
static char B[1<<15],*S=B,*D=B;
#ifndef JACK
#define getchar() (S==D&&(D=(S=B)+fread(B,1,1<<15,stdin),S==D)?EOF:*S++)
#endif
inline int g() {
    R ret=0,fix=1; register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) fix=ch=='-'?-1:fix;
    if(ch==EOF) return EOF; do ret=ret*10+(ch^48); while(isdigit(ch=getchar())); return ret*fix;
} inline bool isempty(const char& ch) {return (ch<=36||ch>=127);}
inline void gs(char* s) {
    register char ch; while(isempty(ch=getchar()));
    do *s++=ch; while(!isempty(ch=getchar()));
}
} using Fread::g; using Fread::gs;

namespace Luitaryi {
const int N=32000;
int mu[N],pri[N/6],cnt,T,k;
bool vis[N];
inline void PRE() { mu[1]=1;
    for(R i=2;i<=N-10;++i) {
        if(!vis[i]) pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N-10;++j) {
            vis[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0) break;
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
inline bool ck(int x) { R ret=0;
    for(R i=1,lim=sqrt(x);i<=lim;++i) ret+=mu[i]*(x/(i*i));
    return ret>=k;
}
inline void main() { PRE();
    T=g(); while(T--) {
        k=g();
        R l=1,r=k<<1;
        while(l<r) {
            R md=l+r>>1;
            if(ck(md)) r=md;
            else l=md+1;
        } printf("%lld\n",l);
    }
}
}
signed main() {
    Luitaryi::main();
}

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2019.07.17