Luogu P3166 [CQOI2014]数三角形 组合数学

好题鸭。。

不好直接求三角形个数，那就用全集-补集，转化为求三点共线的数量。

具体求法是求出水平共线数量与竖直共线数量和斜线共线数量。

用排列组合的知识可知为水平和竖直的为$C_n^3$​与$C_m^3​$。

求斜线三点共线：显然，对于点$(a,b) (x,y)$连成的线段$(其中a>x,b>y)$，在它们中间有$gcd(a-x,b-y)-1$个整点，因此基本的思路就是枚举两个点，然后第3个点就是$gcd(a-x,b-y)-1$种可能了。我们又发现，这些线段是可以平移和对称（/和\）的，于是并不需要枚举所有的两个点，只用枚举$(0,0)$和$(x,y)$，然后通过平移和对称（$*2$）来计算出现的次数。

那么可以发现，这样任意一条线，向上只能平移$(n-i)$，向下$(m - j)$次，

所以出现次数就为$(n - i + 1) * (m - j + 1)$,其中$+1$是因为可以不移动

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define R register ll
using namespace std;
inline int g() {
    R ret=0,fix=1; register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) fix=ch=='-'?-1:fix;
    do ret=ret*10+(ch^48); while(isdigit(ch=getchar())); return ret*fix;
}
int n,m;
ll ans;
inline int gcd(int a,int b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
signed main() {
    n=g()+1,m=g()+1; ans=1ll*n*m;
    ans=1ll*ans*(ans-1)*(ans-2)/6-1ll*m*n*(n-1)*(n-2)/6-1ll*n*m*(m-1)*(m-2)/6;
    for(R i=1;i<n;++i) for(R j=1;j<m;++j) ans-=1ll*2*(gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j);
    printf("%lld\n",ans);
}

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2019.06.01