[笔记] 扩展卢卡斯
对于一般的卢卡斯定理，要求 $C_n^m\space mod \space P$中的$ p $为质数；
而扩展卢卡斯，是解决$P$不为质数时的问题，因为$P$不是质数时，很多模意义下的的除法是做不了的（没有逆元）；
首先对$P$按算术基本定理分解
$ P = \Pi p_i^{c_i} $
对下面这个进行中国剩余定理合并，便是答案
${x_1} \equiv C_n^m \space (mod \space p_1^{c_1})$
${x_2} \equiv C_n^m \space (mod \space p_2^{c_2})$
${x_3} \equiv C_n^m \space (mod \space p_3^{c_3})$
$\cdot \cdot \cdot$
${x_r} \equiv C_n^m \space (mod \space p_r^{c_r})$
然后就是求$ C_n^m \space mod \space p_i^{c_i} $ 的值，
$C_n^m = \frac {n!}{m!(n-m)!} $但是我们无法对他取模，因为$ p_i^{c_i} $ 与分母不一定互质
所以我们拆一下原式：
$ C_n^m \space mod \space p_i^{c_i} = \frac {\frac{n!}{p_i^{a}}}{\frac{m!}{p_i^b}*\frac{(n-m)!}{p_i^c}} \space * p_i^{a-b-c} \space mod \space p_i^{c_i} $
如何求a-b-c呢？
for(R i=n;i;i/=pi) ind+=i/pi; for(R i=m;i;i/=pi) ind-=i/pi; for(R i=n-m;i;i/=pi) ind-=i/pi;
其中$ ind=a-b-c$ (不理解手玩一下就好了qwq)
所以现在是求$ n! 剔除掉所有pi后 \space mod \space p_i^{c_i}$的值
引用网络上的例子：
$ (22!)=(1∗2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9)∗(10∗11∗12∗13∗14∗15∗16∗17∗18)∗(19∗20∗21∗22) $
剔除3因子之后
$ (22!)=(1∗2∗4∗5∗7∗8)∗(10∗11∗13∗14∗16∗17)∗(19∗20∗22)∗3^6∗(1∗2∗3∗4∗5∗6∗7) $
发现按照如下分组之后前$ ⌊\frac{n}{p_i^{c_i}}⌋ $组在$ mod p_i^{c_i}$后结果相同，因此只需要做一组然后快速幂即可
对于$(19∗20∗22)$这是冗余，暴力计算即可
对于最后的$(1∗2∗3∗4∗5∗6∗7)$递归计算即可
3因子被剔除暂不考虑 //就是上一步的$\frac{n!}{p_i^{ind}}$已经被我们扔到外面去了
代码如下
inline ll fac(int n,int pi,int pk) { if(!n) return 1; R ans=1; for(R i=2;i<pk;++i) if(i%pi) ans=ans*i%pk;//循环节 ans=qpow(ans,n/pk,pk); //快速幂，即循环节的个数 for(R i=2;i<=n%pk;++i) if(i%pi) ans=ans*i%pk;//处理最后的散块 return ans*fac(n/pi,pi,pk)%pk; //递归求解 }
于是代码合起来大致长这样：
inline ll qpow(ll a,ll b,ll p) { R ret=1; a%=p;
for(;b;b>>=1,(a*=a)%=p) if(b&1) (ret*=a)%=p; return ret;
}
inline void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y) {
if(!b) {x=1,y=0; return ;}
exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
inline ll Inv(ll n,ll p) {
R x,y; exgcd(n,p,x,y); return (x%p+p)%p;
}
inline ll fac(int n,int pi,int pk) {
if(!n) return 1; R ans=1;
for(R i=2;i<pk;++i) if(i%pi) ans=ans*i%pk;//循环节
ans=qpow(ans,n/pk,pk); //快速幂，即循环节的个数
for(R i=2;i<=n%pk;++i) if(i%pi) ans=ans*i%pk;//处理最后的散块
return ans*fac(n/pi,pi,pk)%pk; //递归求解
}
inline ll L(int n,int m,int pi,int pk) {
R ind=0; for(R i=n;i;i/=pi) ind+=i/pi;
for(R i=m;i;i/=pi) ind-=i/pi;
for(R i=n-m;i;i/=pi) ind-=i/pi;
R N=fac(n,pi,pk),M=fac(m,pi,pk),N_M=fac(n-m,pi,pk);//分别求每个阶乘剔除掉pi的结果
return N*Inv(M,pk)%pk*Inv(N_M,pk)%pk*qpow(pi,ind,pk)%pk;
}
inline ll solve(int n,int m) { R tmp=p,ans=0;
for(R i=2;i*i<=tmp;++i) if(tmp%i==0) {
R pk=1; while(tmp%i==0) pk*=i,tmp/=i;
ans=(ans+L(n,m,i,pk)*Inv(p/pk,pk)%p*p/pk%p)%p; //对P算数基本定理分解并用CRT合并答案
} if(tmp>1) ans=(ans+L(n,m,tmp,tmp)*Inv(p/tmp,tmp)%p*p/tmp%p)%p;
return ans;
}
顺便我们可以水做道例题（Luogu P2183 [国家集训队]礼物&&题解）
当然洛谷的板子也可以打一打。
2019.05.18
