数学趣题：农夫卖鸡

     

最近微博上看到的比较有趣的数学题：

下面是原文：

陶哲轩儿子作业题，他说自己花了15分钟：三农夫分别要卖10, 16, 和26只鸡。为避免价格战，大家商量以每只鸡同价销售，一上午没人卖完。仨人午餐时决定同步降价，下午终于完成任务，每人皆得35元。请问网友午饭前后鸡价分别几何? 请答者附上解题思路和步骤及记录所用的时间！不比速度！

 

这类题目一看就是从多个约束条件中，求出满足约束的值。

按照习惯，先设几个变量，

1. 早上的价格是x元，下午的价格是y元，可知 x > y。

2. 10只鸡农夫早上卖了a只鸡，16只鸡的早上卖了b只，26只鸡的早上卖了c只，可知，10 >a > b > c >0

列出几个等式

1. ax + (10-a)y = 35 (E1)

2. bx + (16-b)y = 35 (E2)

3. cx + (26-c)y = 35 (E3)

E1-E2得：(a-b)x - (a-b)y - 6y = 0  (E4)

E1-E3得：(a-c)x - (a-c)y -16y = 0  (E5)

E2-E3得：(b-c)x - (b-c)y - 10y = 0  (E6)

5个变量，3个等式，显然还算不出答案，但是将等式E4变形，可以得到

(a-b)(x-y) = 6y (E7)

则有

(a-b)/6 = y/(x-y) (E8)

设y/(x-y)=k，那么就可以少一个变量了

于是从E8和E5，E6可得

1. (a-b)/6 = k  (E9)

2. (a-c)/16 = k  (E10)

3. (b-c)/10 = k  (E11)

由E9和a>b可得k >= 1/6

由E10和a<10可得 k <= 9/16

则有 1/6 <= k <= 9/16 (E12)

而且6k，16k，10k是自然数。

满足10k是自然数和E12的k值可取，0.2, 0.3, 0.4, 0.5这4个值。

而其中能满足6k和16k是自然数的，只有0.5，所以k=0.5

所以y/(x-y) = 0.5，则有x = 3y 

则由E9，E10，E11可得

1. a-b=3  (E13)

2. a-c=8  (E14)

3. b-c=5  (E15)

由E14可得，a=8+c，且a <10

则，a可取8或者9。

当a = 8时，b = 5, c = 0。代入E1可得，y=35/26

当a = 9时，b = 6, c = 1。代入E1可得，y=35/28=5/4=1.25

考虑实际生活中，不可能使用无限小数，故舍去y=35/26。

所以y只能为1.25,x=3y=3.75。早上鸡价格为3.75元，下午价格为1.25元