P3067 Balanced Cow Subsets G

折半搜索好题

P3067 Balanced Cow Subsets G

思路：

1. 分析：

首先，由数据范围可以判断出，一定是搜索。

并且 $n\le 20$ 告诉我们还可以用状压来记录状态。

然后注意，题目的要求是对于求有多少“平衡”的子集，所以我们可以有三种思路：

1. 枚举每个集合，判断是否可以拆分。
2. 枚举某个集合，判断是否有另一个集合可以拼在一起组合出一个答案。
3. 整体枚举，对于每一个奶牛将其分入 $A$，$B$ 或不选。

显然，第一个无法快速的判断，第二个无法快速去重，第三个复杂度是 $3^n = 3486784401\approx 3.4e9$ 无法接受。

但是对于前两个，显然不像可做的样子，考虑转化第三个。

2. 转化：

对于暴搜一类的算法的优化，要么是剪枝，要么是折半搜索。

而对于求方案数量的题目，一般不能剪枝，所以考虑折半搜索。

但是折半搜索要求搜索的内容必须独立，不会相互影响，还要求对于前后搜索出来的结果要可以快速合并，现在分为 $A$、
$B$ 两组显然不符合。

还要转化：

对于 $A=B$ 一类的东西，有一个转化的通法：

$A=B \rArr A-B=0$

即在求分组之后相等的时候，可以转化为相减为 $0$，方便求解。

就是可以对于需要分组的数分配权值$1$、$0$或$-1$，直接累加，就代表“选”“不选”“放在另一组”，求的就是最后的累加和为 $0$。

这样，我们就可以将每个物品独立出来，变成了每个物品有独立的 $3$ 种状态，最后要求前后的累加和为 $0$。

所以直接折半搜索，之后通过状压来去重。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	int rt=0;	char g=getchar();
	while(g<'0'||g>'9')	g=getchar();
	while(g>='0'&&g<='9')	rt=(rt<<3)+(rt<<1)+g-'0',g=getchar();
	return rt;
}
int n,m,up,ans;
int a[25],ck[(1<<20)];
int cnt;
map<int,int>mp;
vector<int>v[(1<<20)];
inline void dfs1(int now,int sum,int w)
{
	if(now>up)
	{
		if(!mp.count(sum))	mp[sum]=++cnt;
		v[mp[sum]].push_back(w);
		return;
	}
	dfs1(now+1,sum,w);
	dfs1(now+1,sum-a[now],w|(1<<(now-1)));
	dfs1(now+1,sum+a[now],w|(1<<(now-1)));
}
inline void dfs2(int now,int sum,int w)
{
	if(now>up)
	{
		int opt=mp[-sum];
		for(int i=0;i<v[opt].size();i++)	ck[w|v[opt][i]]=1;
		return;
	}
	dfs2(now+1,sum,w);
	dfs2(now+1,sum-a[now],w|(1<<(now-1)));
	dfs2(now+1,sum+a[now],w|(1<<(now-1)));
}
int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)	a[i]=read();
	if(n==1){putchar('0');return 0;}
	up=(n>>1);	dfs1(1,0,0);
	up=n;	dfs2((n>>1)+1,0,0);
	for(int i=1;i<(1<<n);i++)	ans+=ck[i];
	printf("%d",ans);
	return 0;
}