数论-exgcd

年年背，年年忘，必须来记一下了

$拓展欧几里得-Exgcd$

即为辗转相除法的运用

这是一个常用的求 $gcd(a,b)$ 的东西，然后由于其性质，还可以用来求诸如 $ax+by=c$ 的二元一次不定方程，在$gcd(a,b)=1$ 时就变成了求 $ax+by=1$ 即 $a$ 在 $mod \ b$ 意义下的逆元： $ax \equiv 1(mod \ b)$

性质及其原理：

1. $gcd(a,b) \mid c$

首先，对于拓展欧几里得，它是用来求诸如 $ax+by=c$ 的二元一次不定方程，如果想让这个方程在整数范围内有解，就必有：$gcd(a,b) \mid c$ :

证明1：

在整数范围内：

$gcd(a,b)\mid a$ 且 $gcd(a,b)\mid b$

所以 $gcd(a,b) \mid (ax+by)$ 即 $gcd(a,b) \mid c$

2. 辗转相除法的依据

$gcd(b,(a\ \ mod \ \ b)) = gcd(a,b)$

证明2.

我们不妨设 $a>b$

则 $a$ 可以表示为 $kb+r$ 且 $a\ \ mod \ \ b = r$

所以 $r = a-kb$

再设 $g$ 为 $a,b$ 的约数，则有 $g \mid a$ 和 $g \mid b$

所以 $g \mid r$

所以 $(a,b)$ 与 $(b,(a\ \ mod \ \ b))$ 的约数相等

又由于 $r = a\ \ mod \ \ b <a$

所以 $gcd(b,r) \le gcd(a,b)$

所以 $gcd(b,(a\ \ mod \ \ b)) = gcd(a,b)$

3. 辗转相除法的运用

关于如何运用辗转相除求 $ax+by=c \ \ (\ gcd(a,b) \mid c\ )$ 和正确性。

证明3：

求 $ax+by=c \ \ (\ gcd(a,b) \mid c\ )$

可以转化成 :

$ax'+by'=gcd(a,b)$

$x' = \frac{x\times c}{gcd(a,b)} \ \ \ \ y' = \frac{y\times c}{gcd(a,b)}$

那么，现在我们要求 $ax+by=gcd(a,b) \ \ \text{\textcircled 1}$

我们先设 $G = gcd(a,b)$

然后，如果我们已经找到了一个有一个特解的式子：

$bx_1 + (a \ \ mod \ \ b)y_1 = G \ \ \text{\textcircled 2}$

（意思是若已知 $x_1$ 和 $y_1$ ）

（这个式子必然存在，原理见2.）

那么，我们就将问题变成了通过 $\text{\textcircled 2}$ 来得到 $\text{\textcircled 1}$ 的一组特解：

具体如下：

由 $\text{\textcircled 1} \text{\textcircled 2}$ 得：

$ax+by= bx_1 + (a \ \ mod \ \ b)y_1$

又因为：

$$a \ \ mod \ \ b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b$$

所以：

$$ax+by= bx_1 + ( a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b )y_1$$

$$ax+by= ay_1 + b(x_1 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y_1)$$

所以可得 $\text{\textcircled 1}$ 的一组特解：

$$x=y_1 \ \ , \ \ y = (x_1 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y_1)$$

然后，既然已知可由 $\text{\textcircled 2}$ 的一组特解求 $\text{\textcircled 1}$ 那现在就变成了求 $\text{\textcircled 2}$ 的一组特解。

你会发现 $\text{\textcircled 2}$ 也是类似于：$a_1x_1+ b_1y_1 = G$ 的形式

那么我们就可以递归：

$a_kx_k+b_ky_k = G$

$b_kx_{k+1} + (a_k \ \ mod \ \ b_k)y_{k+1} = G$

然后设： $a_{k+1} = b_k \ \ ,\ \ b_{k+1} = (a_k \ \ mod \ \ b_k)$

就可以进行下一层了。

到最后一定有某一层 $b_i =0$

此时 $a_i=G$

所以我们就有了一组特解：

$\begin{cases} x_i=1\ y_i=0\end{cases}$

（此时 $y_i$ 的值可以任取）

然后一层层回溯就可以求解原式子的 $x_0 , y_0$

注意此时求出来的 $x_0$ 和 $y_0$ 是 $ax_0+by_0=gcd(a,b)$ 的解， 最后还要乘上 $\frac{c}{gcd(a,b)}$ 才是原式子 $ax+by=c$ 的解

即 $x=\frac{x_0 \times c}{gcd(a,b)} \ \ ,\ \ y=\frac{y_0 \times c}{gcd(a,b)}$

4. 求通解

证明4：

既然已经知道了如何求某一组 $x,y$ ，那么我们如何求出所有我们需要的 $x,y$ 呢？

我们设一个数 $d$ ，则有：

$a(x_1+db) + b(y_1-da)=c$

（请自行拆括号）

为方便下文的理解，我们也可以写成：

$a(x_1+ \frac{b}{d} ) + b(y_1 - \frac{a}{d} )=c$

（同理）

因为我们一直都是在整数范围内研究，所以 $\frac{b}{d},\frac{a}{d}$ 都为整数。

并且我们希望可以通过这个式子来递推求出所有的解，所以我们希望它们最小。

综合以上两点，就意味着：

$d \mid a , d \mid b$ ，且 $d$ 最大

所以 $d=gcd(a,b)$

那么，可以设 $d_x=\frac{b}{gcd(a,b)}\ \ ,\ \ d_y=\frac{a}{gcd(a,b)}$

$s$ 为任意整数

则所有的整数解为：

$$\begin{cases} x=x_1+s \times d_x\\ y=y_1+s \times d_y\\ \end{cases}$$

题目：

先来一道模板：

1. 模板：P1082同余方程

那么，上代码：

Code：

ll ls;
inline void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll & y)
{
	if(b==0){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	ls=x;	x=y;
	y=ls-(a/b)*y;
}

2. 升级运用：P5656二元一次不定方程