树状数组上二分
更完整的树状数组详解
树状数组上二分
首先，放几道模板题：
$ n $ 个数，要求支持：
- 单点加。
- 给定 $ t $ ，求一个最大的下标 $ m $ ，使得 $ 1-m $ 的前缀和 $ <= t$。
或者：
- 单点修改。
- 全局第k大（小）
它的原理你可以类比着倍增来理解，就是对于树状数组上的某一节点 $ i $ ，它记录的信息就是 $ [ i - 2^{lowbit(i)} + 1 \text{，}i ] $ 的和，有点类似于倍增，所以对于每一位来决定是否为 $ 1 $ 或 $ 0 $ 。
比如说 $ 6 $ ，它的二进制就是 $ 110 $，就意味着 $ 6 $ 号节点的信息就是$ [ 6 - 2^{lowbit(6)} + 1 \text{，}6 ] = [ 6 - 2 + 1 \text{，}6 ] = [ 5 \text{，} 6 ] $ 的和。
可以参考下图：
那么就可以从高到低，决定每一个二进制位，然后就好了。
或者可以换一个说法：
就是对于一个二进制数，比如说01101100，在我们决定某第 $ i $ 个二进制位的时候，可以想象成是是否要选取已经选到的位置 \(now\) 到 $ now + 2^{i} $ 这一段数。
那么，我们在枚举时，先是第 $ 7 $ 位，我们选定为 $ 1 $ ，就意味着我们向后跳了 $ 2^{7} $ 步，然后又选了第 $ 5 $ 位，就相当于我们又向后跳了 $ 2^{5} $ 步，就是相当于又选了 $ 2^{7}+1 $ 到 $ 2{7}+2 $ 之间的数……然后以此类推……（很像倍增，对吧 $ awa $ ）
（可以自己对着图意会一下 $ awa $ ）
不懂得可以理解一下代码（两种写法）：
Code：
int n,_log;
//全局第k小
//_log=log2(n);
int erfen1(int k)//正着，有点类似于倍增，更好理解；
{
int ans=0;
for(int i=_log;i>=0;i--)
if(t[ans+(1<<i)]<=k)
ans+=(1<<i),k-=t[ans+(1<<i)];
return ans;
}
//_log=ceil(log2(n));
int erfen2(int k)//倒着，从最高位决定是0还是1
{
int ans=1<<_log;
for(int i=_log-1;i>=0;i--)
if(t[ans-(1<<i)]>=k) ans-=(1<<i);
else k-=t[ans-(1<<i)];
return ans;
}
完整测试版：（树状数组记得是某一个数出现了几次）
#include<bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
int n,_log;
int t[100005];
void add(int x,int k)
{
while(x<=n)
{
t[x]+=k;
x+=lowbit(x);
}
}
//全局第k小
//_log=log2(n);
int erfen1(int k)//正着，有点类似于倍增，更好理解；
{
int ans=0;
for(int i=_log;i>=0;i--)
if(t[ans+(1<<i)]<=k)
ans+=(1<<i),k-=t[ans+(1<<i)];
return ans;
}
//_log=ceil(log2(n));
int erfen2(int k)//倒着，从最高位决定是0还是1
{
int ans=1<<_log;
for(int i=_log-1;i>=0;i--)
if(t[ans-(1<<i)]>=k) ans-=(1<<i);
else k-=t[ans-(1<<i)];
return ans;
}
int main()
{
cin>>n;
_log=ceil(log2(n));
while(1)
{
int a,b;
cin>>a>>b;
if(b) add(a,b);
else cout<<erfen2(a)/*erfen1(a)*/<<'\n';
}
return 0;
}
一道有一点高级的“模板”题：
