应用连续高斯模糊后得到的σ是多少？

对图像应用多个连续的高斯模糊效果与应用单个较大的高斯模糊效果相同，后者的半径是实际应用的模糊半径的平方和的平方根。例如，应用半径为$6$和$8$的连续高斯模糊与应用半径为$10$的单个高斯模糊产生的结果相同，因为$\sqrt{6^2+8^2} =10$。

但是我找不到任何证据，为什么会这样呢？

而且我还发现，在某些代码中，人们会考虑将两个连续的高斯模糊 $\sigma_1$ 和$\sigma_2$用只是一个模糊$\sigma=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$代替。

我们如何证明这一结论？

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证明如下：

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可以使用一些简单的卷积理论来证明。首先，回想一下卷积：$f *(g * h)=(f * g) * h$
接下来回想一下高斯模糊图像$I$就是简单地对高斯核函数$G$进行卷积，$G(x, y | \sigma)=\left(2 \pi \sigma^{2}\right)^{-1} \exp \left(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)$

所以高斯模糊两次就相当于卷积两次：$I_{B}=G_{1} *\left(G_{2} * I\right)=\left(G_{1} * G_{2}\right) * I=G * I$，我们知道$G$是一个高斯核，因为两个高斯的卷积是一个高斯。

现在我们只需要证明：$G(x, y | \sigma)=G(x, y | \sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}})=G_{1}\left(x, y | \sigma_{1}\right) * G_{2}\left(x, y | \sigma_{2}\right)$

一种方法是通过定义:计算
$G(x, y | \sigma)=\iint_{-\infty}^{\infty} G_{1}\left(\tau, \xi | \sigma_{1}\right) * G_{2}\left(x-\tau, y-\xi | \sigma_{2}\right) d \tau d \xi$
这将最终等于期望的结果(参见）。

但是，有一些使用简单概率论的简便方法。回想一下，两个独立随机变量的总和给出了一个随机变量，其密度等于两个总和随机变量的卷积。如果$A \sim \mathcal{N}\left(\mu_{A}, \sigma_{A}^{2}\right)$，$B \sim \mathcal{N}\left(\mu_{B}, \sigma_{B}^{2}\right)$是独立的，那么$C=A+B$有$A \sim \mathcal{N}\left(\mu_{A}+\mu_{B}, \sigma_{A}^{2}+\sigma_{B}^{2}\right)$。多元推广也是如此。

请注意,如果$X_{1} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma_{1}^{2} I_{2}\right)$, $X_{2} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma_{2}^{2} I_{2}\right)$，那么它们有密度函数分别是$G_1$和$G_2$。因此总和$Z=X_{1}+X_{2}$具有$G=G_1*G_2$给出的密度函数。

但是我们知道$Z \sim \mathcal{N}\left(0+0, \sigma_{1}^{2} I_{2}+\sigma_{2}^{2} I_{2}\right)=\mathcal{N}\left(0,\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right) I_{2}\right)$，因此，$Z$的密度函数为:
$\begin{aligned} p_{Z}(z) &=\frac{1}{\sqrt{4 \pi^{2}|\Sigma|}} \exp \left(-\frac{1}{2}(z-0)^{T} \Sigma^{-1}(z-0)\right) \\ &=\frac{1}{2 \pi\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)} \exp \left(-\frac{1}{2} \frac{z^{T} z}{\left[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right]}\right) \\ &=\frac{1}{2 \pi\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)} \exp \left(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\left[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right]}\right) \\ &=G(x, y | \sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}) \\ &=G(x, y | \sigma) \end{aligned}$

这里$z=(x, y)$ and $|\Sigma|=\left|\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right) I_{2}\right|=\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)^{2}$。

所以：$\sigma=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$。

[参考内容]
【1】内容1
【2】内容2
【3】内容3
【4】内容4
【5】内容5
【6】内容6