欧拉角与旋转矩阵

一、欧拉角与旋转矩阵

1、欧拉角的定义
定义一个欧拉角，需要明确下面5条：

1.三个旋转角的组合方式
2.旋转角度的参考坐标系统（旋转是相对于固定的坐标系还是相对于自身的坐标系）
3.使用旋转角度是左手系还是右手系
4.三个旋转角的记法
5.主动旋转还是被动旋转
1.1 表示旋转的欧拉角旋转顺序有12种

Proper/classic Euler angle
z-x-z，x-y-x，y-z-y，z-y-z, x-z-x，y-x-y
Tait-Bryan angle（也称作：Cardan angles; nautical angles; heading、elevation、bank; yaw、pitch、rooll）
x-y-z，y-z-x，z-x-y，x-z-y，z-y-x，y-x-z

Proper/classic Euler angle说明这些角度并不是独立的，例如当下面的旋转组合：先绕x轴旋转90度，再绕y轴旋转90度，最后绕x轴旋转-90度，
这一些列组合得到的效果与只绕z轴旋转-90度是一样的。
也就是说我们仅仅在2个平面上进行旋转（其中一个平面上必须进行两次旋转）就可以得到任意的三维旋转！

1.2 内在旋转(intrinsic rotations)和外在旋转(extrinsic rotations)
内在旋转每次旋转围绕的轴是上次旋转之后坐标系的某个轴，外在旋转每次旋转的轴是固定坐标系中的轴。内在旋转与外在旋转的转换关系：
互换第一次和第三次旋转的位置则两者结果相同。例如Z-Y-X旋转的内部旋转和X-Y-Z旋转的外部旋转的旋转矩阵相同：

Fig.2外在旋转

1.3 使用旋转角度是左手系还是右手系

使用右手的大拇指指向旋转轴，其他4个手指在握拳过程中的指向便是正的角度

右手系是逆时针
左手系是顺时针

1.4 主动旋转和被动旋转

主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴旋转，被动旋转是对坐标轴进行的逆时针旋转，相当于主动旋转的逆操作

2、不同轴的欧拉角转换成旋转矩阵

给出逆时针旋转的角度为正时（与右手系旋转方向相同的为旋转正方向），绕不同轴的旋转结果：

3、旋转的本质

4、内部旋转（Z-Y-X）对应的旋转矩阵

5、为什么内部旋转（`Z-Y-X`）和外部旋转（`X-Y-Z`）对应的旋转矩阵是相同的

6.相机坐标系中欧拉角与旋转矩阵的关系

对于两个三维点 $p_1(x_1,y_1,z_1)$ ， $p_2(x_2,y_2,z_2)$ ，由点 $p_1$ 经过旋转矩阵 $R$ 旋转到 $p_2$ ，则有：

$R=\begin{bmatrix}r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} = R\begin{bmatrix}x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}$

任何一个旋转可以表示为依次绕着三个旋转轴旋三个角度的组合。这三个角度称为欧拉角。对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现，

如下图（蓝色是起始坐标系，而红色的是旋转之后的坐标系）：

R_x({\theta}) =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\0 & sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}

R_y({\theta}) =\begin{bmatrix}cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix}

R_z({\theta}) =\begin{bmatrix}cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

因此欧拉角转旋转矩阵如下：
$R =R_z(\phi)R_y(\theta)R_x(\psi)=\begin{bmatrix} cos\theta cos\phi & sin\psi sin\theta cos\phi - cos\psi sin\theta & cos \psi sin\theta cos\phi +sin\psi sin\phi \\cos\theta sin\phi & sin\psi sin\theta sin\phi+cos\psi cos\phi & cos\psi sin\theta sin\phi -sin\psi cos\theta \\ -sin\theta & sin\psi cos\theta & cos\psi cos\theta\end{bmatrix}$
则可以如下表示欧拉角：
$\theta_x=atan2(r_{32},r_{33})$
$\theta_y=atan2(-r_{31},\sqrt{r_{32}^2+r_{33}^2})$
$\theta_z=atan2(r_{21},r_{11})$