small test on 5.30 morning T3

 

    经典的等价类计数问题，我们设 f(x) 为环长为 x 的时候的花环种类，那么答案显然等于 1/n  *  Σf( gcd (i,n) * [gcd(i,n)!=1] * [i>=0&&i<n])

    特殊的，因为循环节不能只有一个，所以gcd不能是1。（但是注意特判n==1的情况)

    又因为n很大，所以我们不能枚举gcd一个一个算，必须把n质因数分解之后用Φ算，这里推一波狮子就好啦。。。。

 

    然后就是f()的计算方法啦。。。首先我们设 g(x) = f(x) / k,也就是当环上第一个花颜色已经确定的方案数，显然 g(x) = (k-1)^(x-1) - g(x-1)       (x>2)

    x<=2的话g很好手算啦。。。所以考虑x>2的时候，从第2到第n个花都要和前面不同色，所以是 (k-1)^(n-1)。又因为这样会把第1个花和第n个花同色的方案算进来，所以还要减去g(x-1)  (相当于把第n个花去掉，只剩n-1个花成环，仍然要求相邻不同色)。

 

    这样通过递推式直接矩阵做的话会凉掉，因为自带8的大常数。。。。。

    不过介于这个递推式太jb简单了，我们都可以直接用等比数列求和求出它的通项。。。。 就是 g(x) =( (k-1)^n + (k-1) * (-1)^n )/k , 所以f(x) =  (k-1)^n + (k-1) * (-1)^n.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int ha=998244353,P=ha-1;
inline int add(int x,int y){ x+=y; return x>=ha?x-ha:x;}
inline void ADD(int &x,int y){ x+=y; if(x>=ha)x-=ha;}
inline int ksm(int x,int y){ int an=1; for(;y;y>>=1,x=x*(ll)x%ha) if(y&1) an=an*(ll)x%ha; return an;}

int T,k,ans,c[233],num=0;
ll n,d[233];

inline int g(ll x){
	return add(ksm(k-1,x%P),(x&1)?ha-(k-1)%ha:(k-1)%ha);
}

void dfs(int x,ll y,ll phi){
	if(x==num){ if(y!=n) ADD(ans,phi%ha*(ll)g(n/y)%ha); return;}
	dfs(x+1,y,phi);
	
	y*=d[x+1],phi*=d[x+1]-1;
	for(int u=1;u<=c[x+1];u++,y*=d[x+1],phi*=d[x+1]) dfs(x+1,y,phi);
}

inline void solve(){
	if(n==1){ ans=k%ha; return;}
	
	ll u=n;
	
	for(int i=2;i*(ll)i<=n;i++) if(!(u%i)){
		c[++num]=0,d[num]=i;
		while(!(u%i)) u/=i,c[num]++;
	}
	
	if(u!=1) c[++num]=1,d[num]=u;
	
	dfs(0,1,1);
	
	ans=ans*(ll)ksm(n%ha,ha-2)%ha;
}

int main(){
	freopen("necklace.in","r",stdin);
	freopen("necklace.out","w",stdout);
	
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%d",&n,&k),ans=0;
		num=0,solve(),printf("%d\n",ans);
	}
	
	return 0;
}