LOJ #6268. 分拆数
可以先将问题建模为 : 物品大小为1~inf 且每件物品数量无限 的背包选体积为1~n的方案数。
显然物品体积只有1~n有用,我们不妨把 体积1~sqrt(n) 的物品先暴力插入到背包中,设这一部分最后 体积i的方案数是 A[i] 。
考虑体积>sqrt(n)的物品怎么计算方案,可以发现这样的物品最多只能有sqrt(n)件。
这有什么用呢? 当然是dp用啊! 设f[i][j] 为选了i件>sqrt(n)的物品,且总体积是j的方案数,显然第一维只有sqrt(n),直接转移做就行了,设这一部分最后 体积i的方案数是B[i]。
不过还有一点很恶心:我们还要合并 A[] 与 B[]。
也没啥,写个NTT就好了hhhh
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int maxn=100005,root=3,ha=998244353,inv=ha/3+1,Base=333; inline int add(int x,int y){ x+=y; return x>=ha?x-ha:x;} inline void ADD(int &x,int y){ x+=y; if(x>=ha) x-=ha;} void W(int x){ if(x>=10) W(x/10); putchar(x%10+'0');} int A[maxn*4],F[Base+5][maxn],B[maxn*4],r[maxn*4],n,l,S,N,INV; inline int ksm(int x,int y){ int an=1; for(;y;y>>=1,x=x*(ll)x%ha) if(y&1) an=an*(ll)x%ha; return an;} inline void dp(){ A[0]=1; for(int i=1;i<Base;i++) for(int j=i;j<=n;j++) ADD(A[j],A[j-i]); F[0][0]=1,S=maxn/Base+1,F[1][Base]=1; for(int i=1;i<S;i++) for(int j=0;j<=n;j++) if(F[i][j]){ if(j+i<=n) ADD(F[i][j+i],F[i][j]); if(j+Base<=n) ADD(F[i+1][j+Base],F[i][j]); ADD(B[j],F[i][j]); } ADD(B[0],1); } inline void NTT(int *c,int f){ for(int i=0;i<N;i++) if(i<r[i]) swap(c[i],c[r[i]]); for(int i=1;i<N;i<<=1){ int omega=ksm((f==1?root:inv),(ha-1)/(i<<1)); for(int P=i<<1,j=0;j<N;j+=P){ int now=1; for(int k=0;k<i;k++,now=now*(ll)omega%ha){ int x=c[j+k],y=c[j+k+i]*(ll)now%ha; c[j+k]=add(x,y); c[j+k+i]=add(x,ha-y); } } } if(f==-1) for(int i=0;i<N;i++) c[i]=c[i]*(ll)INV%ha; } int main(){ scanf("%d",&n),dp(); for(N=1;N<=(n<<1);N<<=1) l++; for(int i=0;i<N;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)); NTT(A,1),NTT(B,1); for(int i=0;i<N;i++) A[i]=A[i]*(ll)B[i]%ha; INV=ksm(N,ha-2),NTT(A,-1); for(int i=1;i<=n;i++) W(A[i]),puts(""); return 0; }
我爱学习,学习使我快乐