[CQOI2018] 破解D-H协议

题目背景

Diffie-Hellman密钥交换协议是一种简单有效的密钥交换方法。它可以让通讯双方在没有事先约定密钥(密码) 的情况下，通过不安全的信道(可能被窃听) 建立一个安全的密钥K,用于加密之后的通讯内容。

题目描述

假定通讯双方名为Alice和Bob,协议的工作过程描述如下(其中 mod 表示取模运算) :

1. 协议规定一个固定的质数P,以及模P 的一个原根g。P 和g 的数值都是公开的，无需保密。

2. Alice 生成一个随机数a,并计算 A=g^a\;mod\;PA=gamodP , 将A 通过不安全信道发送给Bob。

3. Bob 生成一个随机数b,并计算 B=g^b\;mod\;PB=gbmodP ,将B 通过不安全信道发送给Alice。

4. Bob 根据收到的A 计算出 K=A^b\;mod\;PK=AbmodP ,而Alice 根据收到的B 计算出 K=B^a\;mod\;PK=BamodP 。

5. 双方得到了相同的K,即 g^{ab}\;mod\;PgabmodP 。K 可以用于之后通讯的加密密钥。

可见，这个过程中可能被窃听的只有A、B,而a、b、K 是保密的。并且根据A、B、P、g 这4个数,不能轻易计算出K,因此K 可以作为一个安全的密钥。

当然安全是相对的，该协议的安全性取决于数值的大小，通常a、b、P 都选取数百位以上的大整数以避免被破解。然而如果Alice 和Bob 编程时偷懒，为了避免实现大数运算,选择的数值都小于 2^{31}231 ,那么破解他们的密钥就比较容易了。

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件第一行包含两个空格分开的正整数g 和P。

第二行为一个正整数n, 表示Alice 和Bob 共进行了n 次连接(即运行了n 次协议)。

接下来n 行，每行包含两个空格分开的正整数A 和B，表示某次连接中，被窃听的A、B 数值。

 

输出格式：

 

输出包含n 行，每行1个正整数K,为每次连接你破解得到的密钥。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

3 31
3
27 16
21 3
9 26

输出样例#1： 

4
21
25

说明

对于30%的数据， 2≤A,B,P≤10002≤A,B,P≤1000

对于100%的数据， 2≤A,B<P<2^{31},2≤g<20,1≤n≤202≤A,B<P<231,2≤g<20,1≤n≤20

 

 

   裸的bsgs。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=100005;
map<int,int> mmp;
int g,P,n,A,B,C,sz;
inline int ksm(int x,int y){ int an=1; for(;y;y>>=1,x=x*(ll)x%P) if(y&1) an=an*(ll)x%P; return an;}

inline void init(){
	for(int i=0,now=1;i<sz;i++,now=now*(ll)g%P) if(!mmp.count(now)) mmp[now]=i;
	C=ksm(ksm(g,sz),P-2);
}

inline void solve(){
	int X,Y;
	for(int i=0;;i++,A=A*(ll)C%P) if(mmp.count(A)){
		X=i*sz+mmp[A];
		break;
	}
	for(int i=0;;i++,B=B*(ll)C%P) if(mmp.count(B)){
		Y=i*sz+mmp[B];
		break;
	}	
	
	printf("%d\n",ksm(g,X*(ll)Y%(P-1)));
}

int main(){
	scanf("%d%d%d",&g,&P,&n),sz=sqrt(P)+1,init();
	while(n--) scanf("%d%d",&A,&B),solve();
	return 0;
}