[CQOI 2018] 交错序列
5298: [Cqoi2018]交错序列
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Description
我们称一个仅由0、1构成的序列为"交错序列",当且仅当序列中没有相邻的1(可以有相邻的0)。例如,000,001
,101,都是交错序列,而110则不是。对于一个长度为n的交错序列,统计其中0和1出现的次数,分别记为x和y。
给定参数a、b,定义一个交错序列的特征值为x^a*y^b。注意这里规定任何整数的0次幂都等于1(包括0^0=1)。
显然长度为n的交错序列可能有多个。我们想要知道,所有长度为n的交错序列的特征值的和,除以m的余数。(m是
一个给定的质数)例如,全部长度为3的交错串为:000、001、010、100、101。
当a=1,b=2时,可计算31x02+21x12+21x12+21x12+11x22=10
Input
输入文件共一行,包含三个空格分开的整数n,a,b和m。
1≤n≤10000000,0≤a,b≤45,m<100000000
Output
输出文件共一行,为计算结果。
Sample Input
3 1 2 1009
Sample Output
10
x+y是定值,所以我们可以展开多项式算贡献。
设 f(i,k,0/1) 为前i位中这一位是0/1的所有序列的1的个数的k次方的和,然后我们就可以矩阵直接转移了233.
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; int N,M,A,B,S[195],n,AB,T,ans,C[105][105],F[195]; inline void ADD(int &x,int y){ x+=y; if(x>=M) x-=M;} inline int add(int x,int y){ x+=y; return x>=M?x-M:x;} inline int mul(int x,int y,const int ha){ return x*(ll)y%ha;} inline int ksm(int x,int y,const int ha){ int an=1; for(;y;y>>=1,x=mul(x,x,ha)) if(y&1) an=mul(an,x,ha); return an;} struct node{ ll a[49999]; inline void clear(){ memset(a,0,sizeof(a));} inline void BASE(){ clear(); for(int i=0;i<T;i++) a[i*T+i]=1;} node operator *(const node &u)const{ node r; r.clear(); for(int k=0;k<T;k++) for(int i=0;i<T;i++) for(int j=0;j<T;j++) r.a[i*T+j]+=a[i*T+k]*u.a[k*T+j]; for(int i=0;i<T;i++) for(int j=0;j<T;j++) r.a[i*T+j]%=(const int)M; return r; } }X,ANS; inline void build(){ C[0][0]=1; for(int i=1;i<=100;i++){ C[i][0]=1; for(int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]); } S[n=0]=1; for(int i=1;i<=B;i++){ memcpy(F,S,sizeof(S)); memset(S,0,sizeof(S)); for(int j=0;j<=n;j++){ S[j]=add(S[j],mul(F[j],N,M)); S[j+1]=add(S[j+1],M-F[j]); } n++; } n+=A; for(int i=n;i>=A;i--) S[i]=S[i-A]; fill(S,S+A,0); X.clear(); for(int i=0;i<AB;i++){ for(int j=i;j<AB;j++) X.a[i*T+j+AB]=C[j][i]; X.a[i*T+i]=X.a[(i+AB)*T+i]=1; } } inline void calc(){ ANS.BASE(); for(;N;N>>=1,X=X*X) if(N&1) ANS=ANS*X; for(int i=0;i<AB;i++) ans=add(ans,mul(add(ANS.a[i],ANS.a[i+AB]),S[i],M)); } int main(){ scanf("%d%d%d%d",&N,&B,&A,&M),AB=A+B+1,T=AB<<1; build(),calc(); printf("%d\n",ans); return 0; }
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