vijos 2035 奇数偶数与绚丽多彩的数

描述

Q先生是一个热爱学习的男孩子。

他认为一个 n 位的正整数 x 若能被称作是绚丽多彩的，一定要满足对于{1,3,5,7,9} 中任意一个奇数或者没有在 x 中出现，或者在 x 中出现了恰好奇数次；同时对于 {0,2,4,6,8} 中任意的偶数或者没有在 x 中出现，或者在x 中出现了偶数次。同时需要注意 x 是不能有前导零的。

例如 141221242 就是一个九位的绚丽多彩的数。

现在Q先生给定了正整数 n 与另外一个正整数 p，希望你统计出来一共有多少不超过 n 位的绚丽多彩的数，并输出模 p后的余数。

格式

输入格式

输入有一行，包含两个由空格隔开的正整数，分别为 n 和 p。

输出格式

输出一个正整数，表示不超过 n 位的绚丽多彩数的总数模 p 后的余数。

样例1

样例输入1

7 1000000123

样例输出1

287975

样例2

样例输入2

100 1000000123

 

样例输出2

123864868

 

限制

对于100%的数据，2<=n<=2^60，10^9<=p<=2*10^9。

 

    昨晚打的某个比赛的题。

    我们发现偶数出现偶数次和不出现都等价于出现的次数%2=0，奇数出现奇数次相当于出现次数%2=1,当然奇数还可能不出现。所以我们可以枚举哪些奇数是不出现的，然后剩下的奇数满足出现奇数次，偶数出现偶数次就行了。

    还可以发现我们没有必要知道每个奇数/偶数出现的次数的奇偶性，只需要知道有多少个 奇数/偶数 出现 奇数/偶数 次就行了。也就是状态压缩之后，我们只需要一个两位的五进制数就可以表示一个状态。

    而我们在外层也可以直接枚举有几个奇数出现过，然后再将这种情况下的方案总数乘上一个组合数就行了。

    但是这个题要求的数是<=n位的没有前导零的满足条件的数的个数，所以我们要求的最终转移方阵不是某个方阵A的n-1次方，而是A^0+A^1+....A^(n-1)。这个推一推式子就可以用类似矩阵快速幂的方法求出。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll N,P,n,ans=0,C[10][10];

inline ll add(ll x,ll y){
	x+=y;
	return x>=P?x-P:x;
}

struct node{
	ll a[41][41];
	
	inline void clear(){
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	
	inline void init(){
		clear();
		for(int i=0;i<n;i++) a[i][i]=1;
	} 
	
	node operator *(const node &u)const{
		node r;
		r.clear();
		for(int k=0;k<n;k++)
		    for(int i=0;i<n;i++)
		        for(int j=0;j<n;j++) r.a[i][j]=add(r.a[i][j],a[i][k]*(ll)u.a[k][j]%P);
		return r;
	}
	
	node operator +(const node &u)const{
		node r;
		for(int i=0;i<n;i++)
		    for(int j=0;j<n;j++) r.a[i][j]=add(a[i][j],u.a[i][j]);
		return r;
	}
}base,ANS;

inline node ksm(node x,ll y){
	node r,q,BA=x; r.init(),q.init();
	int i=60;
	for(;i;i--) if((1ll<<i)&y) break;
	r=x,i--;
	for(;i>=0;i--)
	    if((1ll<<i)&y){
	    	node O=x*BA;
	    	r=r*(q+O)+O;
	    	x=x*O;
		} 
		else{
			r=r*(q+x);
			x=x*x;
		}
	
	return r+q;
}

inline void solve(){
	for(int i=0;i<=5;i++){
		base.clear();
		n=(i+1)*6;
		for(int j=0,X,Y;j<n;j++){
			X=j%6,Y=j/6;
			if(X) base.a[j][j-1]=X;
			if(X<5) base.a[j][j+1]=5-X;
			if(Y) base.a[j][j-6]=Y;
			if(Y<5) base.a[j][j+6]=i-Y;			
		}
		
		ANS=ksm(base,N-1);
		ans=add(ans,C[5][i]*(ll)((4*ANS.a[1][i*6]+i*ANS.a[6][i*6])%P)%P);
	}
	
	printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=5;i++){
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
	}
	scanf("%lld%lld",&N,&P);
	solve();
	return 0;
}