[HNOI2013]数列

3142: [Hnoi2013]数列

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Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)<N。
小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。
输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16
【样例解释】
输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：
{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

HINT

 

本来今天(还有明天2333)想在火车上颓一颓的，，，但是偶然间看到了这道数学题，于是2333

首先因为 (k-1)*m<n, 所以就算从第二天开始，每天都比前一天多M，也是有解的。

进一步的，如果我们知道了第2-k天每一天和前面一天的差分(肯定是大于0小于等于M的)，

那么第一天的可能的取值就确定了，所以对于每种差分，第一天的可能的取值就是1到N-∑a[i]，其中a是差分。

 

然后把两个部分分开做就行了。

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n;
int m,k,p;

inline int add(int x,int y,const int ha){
    x+=y;
    return x>=ha?x-ha:x;
}

inline int ksm(int x,int y,const int ha){
    int an=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*(ll)x%ha) if(y&1) an=an*(ll)x%ha;
    return an;
}

int main(){
    scanf("%lld%d%d%d",&n,&k,&m,&p),n%=p,m%=p;
    if(k==1){
        printf("%d\n",n);
        return 0;
    }
    printf("%d\n",add(n*(ll)ksm(m,k-1,p)%p,p-m*(ll)(m+1)/2%p*(ll)ksm(m,k-2,p)%p*(ll)(k-1)%p,p));
    return 0;
}