UVA - 11605 Lights inside a 3d Grid

题面

 

    我并不会直接整体求期望。。。

    不过根据期望的线性性，我们可以拆成每个点的期望然后求和。

    于是我们现在要解决两个问题：1.每个点(i,j,l)每次操作被涉及到的概率p；2.求出p后，我们还要知道一个点在k次操作后是亮的的概率(也就是k次操作中被操作了奇数次的概率)。

    

    1.第一个问题比较基础(就是个古典概型)，因为题目里随机的两个点是有序的，所以p的分母应该是(n*m*p)^2；随机的两个点在每一维都必须满足(这里拿第一维举例)有一个>=i，另一个<=i，并且因为有仅有 x1=x2=i 的方案会被算两遍，所以p的分子是 ((n-i+1)*i*2-1)*(...)*(...) 

 

    2.第二个问题需要一点技巧。。

    显然，我们根据需求，可以列出 ans = ∑ C(k,i) * p^i * (1-p)^(k-i) * [k%2==1]

    这个要求的式子就是 [(1-p) + p]^k 二项式展开的p的奇数次项的和，于是我们再配一下 [(1-p) - p]^k，两式做差再除以2，就得到了ans  (可以自己手玩一下)。

 

都解决之后代码就很好写了，其实主要还是考数学23333

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
#define D double

D ans,now,sq,px,py;
int n,m,p,k,T;

inline void Get(){
	ans-=pow(1-2*now,k);
}

int main(){
	scanf("%d",&T);
	
	for(int o=1;o<=T;o++){
		scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&k);
		ans=0,sq=n*m*p,sq=sq*sq;
		
		for(int i=1;i<=n;i++){
			px=(2*i*(n-i+1)-1)/sq;
		    for(int j=1;j<=m;j++){
		    	py=(2*j*(m-j+1)-1)*px;
		        for(int l=1;l<=p;l++) now=(2*l*(p-l+1)-1)*py,Get();
		    }
	    }
		
		ans+=n*m*p,ans/=2,printf("Case %d: %.11lf\n",o,ans);
	}
	
	return 0;
}