[中山市选2011] 完全平方数

题面

 

    大概是比较基础的反演了，设 f(n) 为前n个数有多少个不是xxx，g(n)=n，则：

    g(n) = ∑ f(n/i^2)，大概就是枚举 1~n中每个数的最大平方因子是多少了(注意极大也对，因为这里极大因子=最大因子)。

    我们反演一下，可以得到 f(n) = ∑ μ(i) * g(n/i^2)，(这只是莫比乌斯反演的其中一种形式)，我可以来提示一下怎么推这个式子。

 

    我们把  ∑ μ(i) * g(n/i^2) 中的所有g()用 g(n) = ∑ f(n/j^2) 展开，然后原式= ∑μ(i) * ∑ f(n/(i^2 * j^2))，我们把求和号交换，并让 i*j = d，可以得到原式= ∑f(n/d) * ∑μ(p) * [p|d]。

    众所周知 e(x) = ∑ μ(y) * [y|x]  = [x=1] (这个不管你用二项式定理还是数论函数卷积都可以证啦)，所以原式 = f(n) 得证。

 

然后这个题 f(n) 可以在 O(sqrt(n)) 的复杂度下求出之后就是个傻题了2333

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6;

int zs[N/10+5],t,miu[N+5],T,n;
bool v[N+5];

inline void init(){
	miu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!v[i]) zs[++t]=i,miu[i]=-1;
		
		for(int j=1,u;j<=t&&(u=zs[j]*i)<=N;j++){
			v[u]=1;
			if(!(i%zs[j])) break;
			miu[u]=-miu[i];
		}
	}
}

inline ll Get(ll x){
	ll an=0,now=1;
	for(int i=1;now<=x;now+=(ll)(2*i+1),i++) an+=miu[i]*(ll)(x/now);
	return an; 
}

int main(){
	init();
	
	scanf("%d",&T);
	
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		
    	ll l=1,r=1644934081,mid,ans=0;
    	while(l<=r){
    		mid=l+r>>1;
    		if(Get(mid)>=n) ans=mid,r=mid-1;
    		else l=mid+1;
    	}	
	
    	printf("%lld\n",ans);
    }
	return 0;
}