[中山市选2011] 完全平方数

题面

 

    大概是比较基础的反演了,设 f(n) 为前n个数有多少个不是xxx,g(n)=n,则:

    g(n) = ∑ f(n/i^2),大概就是枚举 1~n中每个数的最大平方因子是多少了(注意极大也对,因为这里极大因子=最大因子)。

    我们反演一下,可以得到 f(n) = ∑ μ(i) * g(n/i^2),(这只是莫比乌斯反演的其中一种形式),我可以来提示一下怎么推这个式子。

 

    我们把  ∑ μ(i) * g(n/i^2) 中的所有g()用 g(n) = ∑ f(n/j^2) 展开,然后原式= ∑μ(i) * ∑ f(n/(i^2 * j^2)),我们把求和号交换,并让 i*j = d,可以得到原式= ∑f(n/d) * ∑μ(p) * [p|d]。

    众所周知 e(x) = ∑ μ(y) * [y|x]  = [x=1] (这个不管你用二项式定理还是数论函数卷积都可以证啦),所以原式 = f(n) 得证。

 

然后这个题 f(n) 可以在 O(sqrt(n)) 的复杂度下求出之后就是个傻题了2333

 

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#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6;
 
int zs[N/10+5],t,miu[N+5],T,n;
bool v[N+5];
 
inline void init(){
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!v[i]) zs[++t]=i,miu[i]=-1;
         
        for(int j=1,u;j<=t&&(u=zs[j]*i)<=N;j++){
            v[u]=1;
            if(!(i%zs[j])) break;
            miu[u]=-miu[i];
        }
    }
}
 
inline ll Get(ll x){
    ll an=0,now=1;
    for(int i=1;now<=x;now+=(ll)(2*i+1),i++) an+=miu[i]*(ll)(x/now);
    return an;
}
 
int main(){
    init();
     
    scanf("%d",&T);
     
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
         
        ll l=1,r=1644934081,mid,ans=0;
        while(l<=r){
            mid=l+r>>1;
            if(Get(mid)>=n) ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }  
     
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

  

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