AtCoder Beginner Contest 354 F - Useless for LIS

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题意

给定 T 组数据，对于每组数据，给定一个长度为 n 的序列 a，问能组成最长上升子序列（LIS）的数有哪些，输出它们的下标。

解法

我们先考虑找出LIS的长度，这里我们可以用dp去做。

定义 dp[i] 表示以 a[i] 结尾的LIS长度，那么转移就是 \(dp[i] = max_{j \lt i \& a[j] < a[i]}(dp[j] + 1)\)

我们可以用树状数组来存储前缀最大值。注意，如果是求任意区间的最大值，那么是无法用树状数组去求的，但是前缀最大值是没问题的。

那么如果找出所有能组成LIS的数呢？我们考虑逆序遍历，遍历到 i 的时候，判断 i 之后是否存在 a[j] > a[i] 且 dp[j] = dp[i] + 1 ，如果满足，就是能够组成LIS的数。我们可以使用一个数组 seq 来存储当前LIS中各个位置上的数，具体如代码所示。

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ls u << 1
#define rs u << 1 | 1
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
const int INF = 0x3f3f3f3f, N = 1e5 + 10;
const int MOD = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
const double PI = acos(-1);
inline int lowbit(int x) {return x & (-x);}

inline void solve() {
    int n; cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), v;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        cin >> a[i];
        v.push_back(a[i]);
    }
    sort(v.begin(), v.end());
    v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());
    vector<int> tr(n + 1), dp(n + 1);
    function<int(int)> getIdx = [&](int x) {
        return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin() + 1;
    };
    function<void(int, int)> update = [&](int u, int val) {
        for (int i = u; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] = max(tr[i], val);
    };
    function<int(int)> pre = [&](int u) {
        int sum = 0;
        for (int i = u; i; i -= lowbit(i)) sum = max(sum, tr[i]);
        return sum;
    };

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        int x = getIdx(a[i]);
        dp[i] = pre(x - 1) + 1;
        update(x, dp[i]);
    }

    int ans = pre(n);
    vector<int> seq(ans + 1);
    vector<int> res;
    for (int i = n; i; i -- ) {
        if (dp[i] == ans) {
            seq[ans] = max(seq[ans], a[i]);
            res.push_back(i);
        } else {
            if (seq[dp[i] + 1] <= a[i]) continue;
            seq[dp[i]] = max(seq[dp[i]], a[i]);
            res.push_back(i);
        }
    }
    cout << res.size() << endl;
    reverse(res.begin(), res.end());
    for (auto ite : res) cout << ite << ' '; cout << endl;
}
signed main() {
#ifdef DEBUG
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    auto now = clock();
#endif
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    cout << fixed << setprecision(2);
    int _ = 1;
    cin >> _;
    while (_ -- )
        solve();
#ifdef DEBUG
    cout << "============================" << endl;
    cout << "Program run for " << (clock() - now) / (double)CLOCKS_PER_SEC * 1000 << " ms." << endl;
#endif
    return 0;
}