ABC350 E - Toward 0 题解

AtCoder Beginner Contest 350 E - Toward 0

原题地址

题意

给定四个数 N A X Y，你可以对 N 进行以下两种操作。

• 花费 X 的代价将 N 变成 \(\lfloor \cfrac{N}{A} \rfloor\)
• 花费 Y 的代价掷一颗骰子，设掷出结果是 i，将 N 变成 \(\lfloor \cfrac{N}{i} \rfloor\)

你需要执行若干次操作，每次操作可以选择上面两种中的一种。问将 N 变成 0 的最小花费。

题解

如果读者去在草稿纸上列公式，会发现一个问题：当投掷到 1 的时候，不太好讨论。我们定义一种状态，令 \(f(n)\) 表示将 n 变成 0 的最小花费。

于是对于每次操作，我们有两种策略：

• 选择花费 X ，那么当前花费就是 \(f(n) = X + f(\lfloor \cfrac{n}{A} \rfloor)\)
• 选择花费 Y ，那么当前花费就是 \(f(n) = \cfrac{\sum_{i = 1}^6 (Y + f(\lfloor \cfrac{n}{i}) \rfloor)}{6}\)

所以有

\[f(n) = \min(X + f(\lfloor \cfrac{n}{A} \rfloor), \cfrac{\sum_{i = 1}^6 (Y + f(\lfloor \cfrac{n}{i}) \rfloor)}{6}) \]

可以递归解决。

但是需要考虑到一种情况：当 \(i = 1\) 时，会无限递归，也就说有后效性。但是这个是只会出现在确实操作2才是最优操作时产生的，于是我们可以解方程。最后将第二种情况优化为

\[f(n) = \cfrac{6 \cdot Y + \sum_{i = 2}^6 f(\lfloor \cfrac{n}{i} \rfloor)}{5} \]

那么就可以规避掉刚刚的情况了。代码不难写出

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ls u << 1
#define rs u << 1 | 1
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
const int INF = 0x3f3f3f3f, N = 1e5 + 10;
const int MOD = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
const double PI = acos(-1);
inline int lowbit(int x) {return x & (-x);}

inline void solve() {
    LL n, a, x, y;
    cin >> n >> a >> x >> y;
    map<LL, double> fn;
    function<double(LL)> f = [&](LL v) {
        if (v == 0) return 0.0;
        if (fn.count(v)) return fn[v];
        double t1 = (double)x + f(v / a);
        double t2 = (double)y * 6;
        for (int i = 2; i <= 6; i ++ ) t2 += f(v / i);
        t2 /= 5;
        return fn[v] = min(t1, t2);
    };
    cout << f(n) << endl;
}
signed main() {
#ifdef DEBUG
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    auto now = clock();
#endif
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    cout << fixed << setprecision(8);
    int _ = 1;
//    cin >> _;
    while (_ -- )
        solve();
#ifdef DEBUG
    cout << "============================" << endl;
    cout << "Program run for " << (clock() - now) / (double)CLOCKS_PER_SEC * 1000 << " ms." << endl;
#endif
    return 0;
}