补题记录B. Let's Go Hiking
补题记录:
B. Let's Go Hiking
题意:有两个人对由一个排列组成的数组玩游戏,A先选一个位置x,B后选一个位置y。然后A只能往小的数字走,B只能往大的数字走。并且A和B不能走到一起,不能走超出边界。A先手,问A必胜的策略数。
方法:思维
首先我们先确定一下A一定会放哪个地方
首先排除边界,因为假如A放在1或者n这些地方的时候,我们可以放在2或者n - 1来堵
如果不放在边界,假设A放的地方为x,并且数组p中\(p_x < p_{x + 1}\),那么B可以放在x - 1处来堵,反之
所以我们得出,A一定会放在x位置,其中x满足\(p_{x - 1} < p_x < p_{x + 1}\)
那么接下来我们记录\(l\)为最长的单调序列的长度,\(c\)为最长单调序列长度的个数
我们很容易得出,当\(c \neq 2\)的时候,A必败
假如\(c > 2\),当A选择了一个峰占领的时候,我们可以找到另外一条长度为\(l\)的单调序列的底部来爬,最终B是必胜的
假如\(c = 1\),根据我们之前的分析,堵它隔壁就行
那么当\(c = 2\)的时候,当且仅当形式为\(p_{x - l + 1} < p_{x - l + 2} < ... < p_x < ... < p_{x + l - 2} < p_{x + l - 1}\)A才可能必胜,证明其他形式必败类似于证明\(c > 2\)时候的情景,这里省略
对于我们刚刚得出的序列,我们给出以下方案
当\(l\mod 2 = 0\)时,B必胜,因为B只要放在最下面即可
当\(l\mod2 = 1\)时,A必胜,因为当B放在最下面的时候,我们和B走同一条路,是必胜的;当B不放在最下面的时候,我们就不和B走同一条路,于是B的单调路线没我们的长,所以A必胜。
所以求出\(l, c\)验证即可
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL,LL> PLL;
const int INF = 0x3f3f3f3f, N = 1e5 + 10;
inline int lc(int u) {return u << 1;}
inline int rc(int u) {return u << 1 | 1;}
inline int lowbit(int x) {return x & (-x);}
int a[N], st[N];//st[i]表示以i为结尾的最长的单调序列长度为多少
inline void solve() {
int n; cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
int ml = 0, c = 0, len = 0;
bool is_up = true, is_down = false;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {//求出最长的长度
if (a[i] > a[i - 1]) {
if (is_up) len ++ ;
else {
is_up = true;
is_down = false;
ml = max(ml, len);
len = 2;
}
} else {
if (is_down) len ++ ;
else {
is_down = true;
is_up = false;
ml = max(ml, len);
len = 2;
}
}
st[i] = len;
}
ml = max(ml, len);
if (ml & 1) {
vector<int> v;//存最长单调序列的下标
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
if (ml != st[i]) continue;
v.push_back(i);
c ++ ;
}
if (c != 2) cout << 0 << endl;
else {
if (a[v[0]] > a[v[0] - 1] && a[v[1]] < a[v[1] - 1]) cout << 1 << endl;
else cout << 0 << endl;
}
} else cout << 0 << endl;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
// int t; cin >> t;
// while (t -- )
solve();
return 0;
}