如果让现在的部分主流 LLM 模型做 SCP-S？（个人补充）

ChatGLM（58.5 分）

个人认为比较厉害但是没有被 cz 评测，部分试题打开联网。

一、单项选择题（24 分）

T1（3 分）

在 CSP-S 第二轮评测中，用于编译题目英文名为 luogu 的传统型试题的选手代码的编译命令是 B. g++ -std=c++14 -O2 -o luogu.cpp。这个命令使用了 C++ 编译器 g++，并指定了 C++14 标准，同时使用了 -O2 优化选项。

T2（3 分）

在2023年CSP-S第二轮认证中，关于申诉的相关规定如下：

1. 认证者只能通过报名系统提出申诉，且每个题目只能申诉一次。
2. 申诉必须在规定的时间内提出，即2023年10月31日9:00至11月2日13:00。
3. 申诉必须经过指导教师审核并提交给CCF。
4. CCF NOI竞赛委员会明确指出，以下情况的申诉将不被接受：
   • 与个人名次、他人成绩和他人名次有关的申诉。
   • 未通过NOI科学委员会指定渠道提交的申诉。
   • 以操作系统、语言环境的具体差异为由提出的申诉。
   • 对使用随机数和随机算法的程序的申诉。
   • 发布成绩与认证者使用非规范环境和数据、参数评测出的成绩不同，并因此提出的申诉。
   • 在与标准测试环境相同的机器上，自测用时超过题目时限的5%，并由此提出的申诉。
   • 以修改过的程序或答案为依据的申诉。
   • 因认证者错误而导致答案文件名错误，或者源文件存放目录结构不规范，且所提出的申诉与此有关的。
   • 未描述清楚自测状况的申诉。
   • 因认证者个人失误提出的申诉。
   • 涉及违反编程语言使用限制等技术规则的申诉。
     根据这些规定，选项中可能被接受的申诉是：
     D. 小陈在与评测环境相同的电脑上运行程序，使用了850毫秒运行得出正确答案，而该题的时间限制为1秒。程序运行并未超出内存限制。
     这个申诉可能会被接受，因为它涉及的是程序在标准评测环境下的运行时间，且没有超出题目规定的时限。然而，最终是否接受还需取决于CCF的审核结果。
     参考来源：

• CCF NOI竞赛委员会的公告
• 自主选拔在线的通知

T3（3 分）

在考虑哪些人工智能技术不属于大型语言模型（LLM）的应用时，我们首先需要了解LLM的定义和应用范围。大型语言模型（LLM）是一种基于深度学习的自然语言处理技术，它通过训练能够处理和生成自然语言文本的大型模型，以实现对自然语言的深入理解和生成能力。
LLM技术的核心在于使用深度神经网络和大规模文本数据进行预训练，然后利用这些预训练模型进行下游任务的微调或直接应用。它的主要应用领域包括语言理解和生成、机器翻译、问答系统、对话生成以及文本摘要和生成等。
根据这些信息，我们可以分析给出的选项：
A. ChatGPT - 这是一种基于LLM技术的聊天机器人，能够生成自然语言文本，属于LLM的应用范畴。
B. Stable Diffusion - 这是一个基于深度学习的图像生成模型，主要用于生成图像，不属于LLM的应用范畴。
C. Gemini - 这个选项需要更多信息来确定其具体技术背景，但根据名字，它可能是一个特定的人工智能模型或系统。
D. 文心一言 - 这是由百度开发的一种基于LLM技术的语言模型，用于生成和理解自然语言文本，属于LLM的应用范畴。
综上所述，不属于LLM应用范畴的是 B. Stable Diffusion，因为它主要用于图像生成，而不是自然语言处理。
参考来源：

• CSDN博客关于大型语言模型的全面解读
• CSDN博客关于LLM的原理、发展历程、训练方法、应用场景和未来趋势
• CSDN博客关于LLM的应用与前景

T4（3 分）

首先，我们需要将选项中的数值转换为十进制数，然后与十进制数47进行比较。
A. 将八进制数(56)8转换为十进制：

\[(56)_8 = 5 \times 8^1 + 6 \times 8^0 = 40 + 6 = 46 \]

B. 将二进制数(1100110)2转换为十进制：

\[(1100110)_2 = 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 \]

\[= 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 102 \]

C. 将五进制数(142)5转换为十进制：

\[(142)_5 = 1 \times 5^2 + 4 \times 5^1 + 2 \times 5^0 = 25 + 20 + 2 = 47 \]

D. 将十六进制数(2D)16转换为十进制：

\[(2D)_{16} = 2 \times 16^1 + 13 \times 16^0 = 32 + 13 = 45 \]

现在，我们可以比较这些值与47，找出与之相等的数值。

# Converting each option to decimal and comparing with 47
# Option A: Octal to Decimal
octal_to_decimal_A = 5 * 8**1 + 6 * 8**0
# Option B: Binary to Decimal
binary_to_decimal_B = 1 * 2**6 + 1 * 2**5 + 0 * 2**4 + 0 * 2**3 + 1 * 2**2 + 1 * 2**1 + 0 * 2**0
# Option C: Quinary to Decimal
quinary_to_decimal_C = 1 * 5**2 + 4 * 5**1 + 2 * 5**0
# Option D: Hexadecimal to Decimal
hexadecimal_to_decimal_D = 2 * 16**1 + 13 * 16**0
# Comparing with 47
target_decimal = 47
comparison_results = {
    "A": octal_to_decimal_A == target_decimal,
    "B": binary_to_decimal_B == target_decimal,
    "C": quinary_to_decimal_C == target_decimal,
    "D": hexadecimal_to_decimal_D == target_decimal
}
comparison_results

{'A': False, 'B': False, 'C': True, 'D': False}

选项C，即(142)5，表示的数值与十进制数47一致。因此，正确答案是C. (142)5。

T5（3 分）

要计算13在模29意义下的乘法逆元，我们需要找到一个数x，使得 \(13x \equiv 1 \pmod{29}\)。这可以通过扩展欧几里得算法或试错法来解决。我将使用Python来尝试不同的值，找到满足条件的x。

# 计算13在模29意义下的乘法逆元
p = 29
a = 13
# 尝试不同的x值，直到找到满足条件的x
for x in range(1, p):
    if (a * x) % p == 1:
        inverse = x
        break
inverse

9

13在模29意义下的乘法逆元是9。因此，正确答案是D. 9。

T6（3 分，笔者评价：相当精彩）

要计算 $ T_8^0 + T_8^1 + T_8^2 + \cdots + T_8^{16} $ 的值，我们首先需要理解三项式系数 $ T_n^k $ 的定义。这里 $ T_n^k $ 是指在 $ (1 + x + x²⁾n $ 的展开式中 $ x^k $ 项的系数。
对于 $ (1 + x + x²⁾8 $，我们可以通过多项式展开的方法来找出每个 $ x^k $ 项的系数 $ T_8^k $。然后，我们将这些系数相加，即 $ T_8^0 + T_8^1 + T_8^2 + \cdots + T_8^{16} $，来得到最终结果。
我们将使用 Python 来进行这个计算。首先，我们需要生成 $ (1 + x + x²⁾8 $ 的所有项，并计算每个项的系数。然后，我们将这些系数相加得到最终结果。让我们开始编写代码来执行这个计算。

from sympy import symbols, expand
# 定义变量
x = symbols('x')
n = 8
# 展开多项式 (1 + x + x^2)^n
polynomial_expansion = expand((1 + x + x**2)**n)
# 提取多项式中各项的系数
coefficients = [polynomial_expansion.coeff(x, k) for k in range(17)]
# 计算系数之和
sum_of_coefficients = sum(coefficients)
sum_of_coefficients

6561

计算结果显示 $ T_8^0 + T_8^1 + T_8^2 + \cdots + T_8^{16} $ 的值为 6561。

如果我们令 $ x = 1 $，那么 $ (1 + x + x²⁾8 $ 变为 $ (1 + 1 + 1²⁾8 $，即 $ 3^8 $。这是因为当 $ x = 1 $ 时，每一项 $ x^k $ 都变为 1，所以整个表达式就变成了 3 的 8 次幂。
因此，我们可以直接计算 $ 3^8 $ 来得到 $ T_8^0 + T_8^1 + T_8^2 + \cdots + T_8^{16} $ 的值。让我们进行这个计算。

# 计算 3^8
result = 3**8
result

6561

通过令 $ x = 1 $ 并计算 $ 3^8 $，我们得到 $ T_8^0 + T_8^1 + T_8^2 + \cdots + T_8^{16} $ 的值为 6561，这与之前的计算结果一致。这种方法更为简单和直观。

T7（3 分）

在二叉排序树中，每个节点的左子树都只包含小于该节点关键字的值，而右子树只包含大于该节点关键字的值。当插入一个新节点时，如果它的关键字小于当前节点的关键字，我们就沿着左子树方向继续查找插入位置；如果它的关键字大于当前节点的关键字，我们就沿着右子树方向继续查找。由于新节点的关键字小于根节点的关键字，因此它将被插入到根节点的左子树中。至于它将成为左子树的叶子节点还是非叶子节点，取决于左子树中已经存在的节点结构。如果左子树有节点，新节点可能会成为某个节点的左或右子节点，即非叶子节点；如果左子树为空，新节点将成为左子树的叶子节点。
因此，最准确的答案是：
A. 左子树的某一叶子结点
但请注意，如果根节点的左子树已经存在节点，新节点也可能成为左子树的某一非叶子节点。

T8（3 分）

要计算从盒子中随机抽取 3 个球，其中恰好有 1 个红球、1 个蓝球和 1 个绿球的概率，我们可以按照以下步骤进行：

1. 计算总的可能性数量：首先，我们需要知道从盒子中总共 4 个红球、5 个蓝球和 6 个绿球中抽取 3 个球的总可能性数量。这可以通过组合数来计算，即从 15 个球中抽取 3 个球的组合数。
2. 计算满足条件的可能性数量：接着，我们需要计算满足条件的情况的数量，即从 4 个红球中抽取 1 个，从 5 个蓝球中抽取 1 个，从 6 个绿球中抽取 1 个的组合数。
3. 计算概率：最后，将满足条件的情况数量除以总的可能性数量，得到所求概率。
   现在，我将使用 Python 来计算这些值。

from math import comb
# 总球数
total_balls = 4 + 5 + 6
# 计算总的可能性数量
total_combinations = comb(total_balls, 3)
# 计算满足条件的可能性数量
# 从4个红球中抽取1个，从5个蓝球中抽取1个，从6个绿球中抽取1个
desired_combinations = comb(4, 1) * comb(5, 1) * comb(6, 1)
# 计算概率
probability = desired_combinations / total_combinations
probability

0.26373626373626374

从盒子中随机抽取 3 个球，其中恰好有 1 个红球、1 个蓝球和 1 个绿球的概率大约是 0.264，即大约 26.4%。

from fractions import Fraction
# 将概率转换为分数形式
probability_fraction = Fraction(desired_combinations, total_combinations)
probability_fraction

Fraction(24, 91)

以分数形式表示，从盒子中随机抽取 3 个球，其中恰好有 1 个红球、1 个蓝球和 1 个绿球的概率是 \(\frac{24}{91}\)。

T9（3 分）

要解决这个问题，我们需要首先理解前缀表达式的求值方法。前缀表达式（也称为波兰式）是一种将运算符写在操作数之前的一种表示法。例如，前缀表达式 - + 10 * 2 3 + 5 / 6 2 表示的是一个数学运算，其中 -、+、* 和 / 是运算符，而 10、2、3、5、6 和 2 是操作数。
求值前缀表达式的步骤如下：

1. 从右向左扫描表达式。
2. 遇到操作数时，将其压入栈中。
3. 遇到运算符时，从栈中弹出所需数量的操作数（对于二进制运算符，通常是两个），执行运算，然后将结果压回栈中。
4. 当整个表达式扫描完毕后，栈顶的元素即为最终结果。
   现在，让我们按照这个方法来求值 - + 10 * 2 3 + 5 / 6 2。

# 定义一个函数来计算前缀表达式的值
def evaluate_prefix(expression):
    # 操作数栈
    stack = []
    # 从右向左扫描表达式
    for char in reversed(expression.split()):
        # 如果是操作数，压入栈中
        if char.isdigit():
            stack.append(int(char))
        # 如果是运算符，弹出操作数，执行运算，结果压回栈中
        else:
            operand1 = stack.pop()
            operand2 = stack.pop()
            if char == '+':
                stack.append(operand1 + operand2)
            elif char == '-':
                stack.append(operand1 - operand2)
            elif char == '*':
                stack.append(operand1 * operand2)
            elif char == '/':
                stack.append(operand1 / operand2)
    # 栈顶元素即为最终结果
    return stack[0]
# 计算给定前缀表达式的值
expression = "- + 10 * 2 3 + 5 / 6 2"
result = evaluate_prefix(expression)
result

8.0

前缀表达式 - + 10 * 2 3 + 5 / 6 2 的求值结果是 8。因此，正确答案是 A. 8。

T10（0 分，第一次翻车）

要解决这个问题，我们需要理解循环队列的工作原理。在循环队列中，当队列的尾部到达数组的末尾时，它会“环绕”回到数组的开头。因此，队列的长度是由头指针和尾指针之间的距离决定的，但这个距离可能跨越数组的末尾和开头。
给定的信息是：

• 头指针指向下标 8
• 尾指针指向下标 3
• 队列的存储空间是数组 data q[21]，即数组有 21 个元素
  在循环队列中，尾指针指向的是队列末尾的下一个元素。因此，队列的实际末尾元素是尾指针的前一个元素，即下标 2。
  由于数组是循环的，我们需要计算从下标 8 到下标 2 的距离。在循环数组中，这个距离可以通过以下方式计算：
• 如果头指针的位置大于尾指针的位置，那么队列的长度是头指针位置减去尾指针位置。
• 如果头指针的位置小于尾指针的位置，那么队列的长度是数组长度加上头指针位置减去尾指针位置。
  现在，让我们计算队列的长度。

# 定义头指针和尾指针的位置
head_position = 8
tail_position = 3
# 定义数组长度
array_length = 21
# 计算队列长度
# 由于头指针的位置大于尾指针的位置，直接计算差值
queue_length = head_position - tail_position
queue_length

5

队列当前的长度为 5。因此，正确答案是 A. 5。

T11（3 分）

思考：
要确定哪种排序算法的运行时间复杂度与整数大小无关，我们需要分析每种算法的特点：

1. 基数排序（Radix Sort）：这种排序算法是根据数字的每一位来排序的，例如先按个位排序，然后按十位排序，以此类推。它的运行时间复杂度与数字的大小（即位数）有关，但与数列中整数的具体大小无关。
2. 计数排序（Counting Sort）：这种排序算法适用于整数排序，特别是当整数的范围不大时。它通过计数每个不同元素出现的次数来排序，运行时间复杂度与最大值和最小值之差有关，因此与整数的大小有关。
3. 希尔排序（Shell Sort）：这是一种改进的插入排序算法，它通过比较距离较远的元素来改善插入排序的性能。希尔排序的运行时间复杂度与整数的大小无关，因为它只依赖于元素之间的比较和交换。

根据以上分析，我们可以得出结论。
执行：
根据分析，我们可以直接回答这个问题，不需要编写代码。希尔排序（Shell Sort）的运行时间复杂度与整数大小无关。
因此，正确答案是 C. 希尔排序。

T12（3 分，最抽象的一集，Python 跑 C++ 代码）

思考：

这个问题涉及到C++语言的基础知识，包括数据类型、运算符、循环等。我们逐一分析每个选项的正确性。
A. 在C++中，两个32位有符号整型变量相乘，结果可能会超出32位整型的范围。但是，auto关键字会根据右侧表达式的结果自动推断变量类型，所以d的类型不一定是64位整型，它取决于a * b的结果是否超出32位整型的范围。
B. 这个表达式涉及到max函数和长整型（1LL表示64位长整型）。我们需要确认max(a, b) * 1LL * c是否总是等于max(1LL * a * c, 1LL * b * c)。
C. sizeof运算符返回的是变量所占用的字节数。对于32位整型变量，其大小通常是4字节。
D. 当a为负数时，将其赋值给无符号整型变量i会导致i变成一个很大的正数。如果b也是一个负数或者小于i，那么循环条件i < b将始终为真，导致死循环。
接下来，我将使用Python来验证选项B的正确性。

执行：

对于选项B，我们可以通过编写一个简单的Python脚本来验证这个逻辑表达式是否总是为真。我们将随机生成一些a、b和c的值，并检查表达式是否成立。

import random
# 验证选项B的正确性
def check_expression(a, b, c):
    return max(a, b) * 1LL * c == max(1LL * a * c, 1LL * b * c)
# 生成随机测试数据
test_cases = [(random.randint(-10**9, 10**9), random.randint(-10**9, 10**9), random.randint(-10**9, 10**9)) for _ in range(1000)]
# 检查所有测试案例
all_true = all(check_expression(a, b, c) for a, b, c in test_cases)
all_true

  Cell In[1], line 5
    return max(a, b) * 1LL * c == max(1LL * a * c, 1LL * b * c)
                       ^
SyntaxError: invalid decimal literal

在Python中，1LL这种表示法是不正确的。在Python中，长整型可以直接通过数字后面加上L或l来表示。我将修正这个错误，并重新运行代码来验证选项B的正确性。

# 修正长整型的表示方法
def check_expression(a, b, c):
    return max(a, b) * 1L * c == max(1L * a * c, 1L * b * c)
# 重新检查所有测试案例
all_true = all(check_expression(a, b, c) for a, b, c in test_cases)
all_true
  Cell In[2], line 3
    return max(a, b) * 1L * c == max(1L * a * c, 1L * b * c)
                       ^
SyntaxError: invalid decimal literal
在Python 3中，长整型（long）已经与整型（int）合并，所有整数都是长整型。因此，不需要特别指定`1L`。我将再次修改代码，并重新运行以验证选项B的正确性。
# 修正长整型的表示方法，直接使用整数
def check_expression(a, b, c):
    return max(a, b) * 1 * c == max(1 * a * c, 1 * b * c)
# 重新检查所有测试案例
all_true = all(check_expression(a, b, c) for a, b, c in test_cases)
all_true

---------------------------------------------------------------------------
NameError                                 Traceback (most recent call last)
Cell In[3], line 6
      3     return max(a, b) * 1 * c == max(1 * a * c, 1 * b * c)
      5 # 重新检查所有测试案例
----> 6 all_true = all(check_expression(a, b, c) for a, b, c in test_cases)
      7 all_true
NameError: name 'test_cases' is not defined

出现了一个错误：我没有重新定义测试用例。我将重新生成测试用例并再次运行验证。

# 重新生成随机测试数据
test_cases = [(random.randint(-10**9, 10**9), random.randint(-10**9, 10**9), random.randint(-10**9, 10**9)) for _ in range(1000)]
# 再次检查所有测试案例
all_true = all(check_expression(a, b, c) for a, b, c in test_cases)
all_true

---------------------------------------------------------------------------
NameError                                 Traceback (most recent call last)
Cell In[4], line 2
      1 # 重新生成随机测试数据
----> 2 test_cases = [(random.randint(-10**9, 10**9), random.randint(-10**9, 10**9), random.randint(-10**9, 10**9)) for _ in range(1000)]
      4 # 再次检查所有测试案例
      5 all_true = all(check_expression(a, b, c) for a, b, c in test_cases)
Cell In[4], line 2, in <listcomp>(.0)
      1 # 重新生成随机测试数据
----> 2 test_cases = [(random.randint(-10**9, 10**9), random.randint(-10**9, 10**9), random.randint(-10**9, 10**9)) for _ in range(1000)]
      4 # 再次检查所有测试案例
      5 all_true = all(check_expression(a, b, c) for a, b, c in test_cases)
NameError: name 'random' is not defined

出现了一个新的错误：我忘记导入random模块。我将修正这个错误，然后再次尝试验证选项B的正确性。

import random
# 重新生成随机测试数据
test_cases = [(random.randint(-10**9, 10**9), random.randint(-10**9, 10**9), random.randint(-10**9, 10**9)) for _ in range(1000)]
# 再次检查所有测试案例
all_true = all(check_expression(a, b, c) for a, b, c in test_cases)
all_true

False

选项B的逻辑表达式在大多数情况下是正确的，但并非总是如此。在C++中，当两个32位有符号整型变量相乘时，结果可能会超出32位整型的范围。如果结果超出了这个范围，就会发生溢出，导致结果不正确。因此，不能保证max(a, b) * 1LL * c总是等于max(1LL * a * c, 1LL * b * c)。这取决于a和b的具体值。
对于选项C，sizeof运算符返回的是变量所占用的字节数。对于32位有符号整型变量，其大小通常是4字节。因此，选项C是正确的。
对于选项D，如果a是一个负数，将其赋值给无符号整型变量i会导致i变成一个很大的正数（因为无符号整型变量不能存储负数）。如果b也是一个负数，那么i < b将始终为真，因为无符号整型变量总是大于任何有符号整型变量。这会导致死循环。因此，选项D是错误的。
综上所述，只有选项C是正确的。

T13（3 分）

思考：

要分析calc函数的时间复杂度，我们需要观察其结构和递归行为。calc函数通过递归将问题分解为更小的部分，并在每次递归调用后执行val函数。

1. 递归分析：calc函数递归地将问题规模减半，即calc(n / 2)。这意味着它会递归log2(n)次。
2. val函数分析：val函数包含两个嵌套循环。外层循环运行n次，内层循环的步长为i，因此内层循环的总次数是n + (n-1) + (n-2) + ... + 1，这是一个等差数列求和，其和为n(n+1)/2。
   接下来，我将计算val函数的时间复杂度，然后结合递归调用的次数来确定calc函数的总时间复杂度。

# 计算val函数的时间复杂度
# val函数的内层循环次数是 n + (n-1) + (n-2) + ... + 1
# 这是一个等差数列求和，其和为 n(n+1)/2
# val函数的时间复杂度
def val_time_complexity(n):
    return n * (n + 1) / 2
# 测试几个n的值
test_values = [10, 100, 1000, 10000]
[val_time_complexity(n) for n in test_values]

[55.0, 5050.0, 500500.0, 50005000.0]

val函数的时间复杂度随着n的增加而增加，大致呈平方增长。具体来说，对于n = 10，内层循环的次数是55；对于n = 100，次数是5050；对于n = 1000，次数是500500；对于n = 10000，次数是50005000。这表明val函数的时间复杂度是Θ(n²)。
接下来，考虑calc函数的递归行为。calc函数递归地将问题规模减半，即calc(n / 2)，这意味着它会递归log2(n)次。每次递归调用都会执行val函数，其时间复杂度为Θ(n²)。
因此，calc函数的总时间复杂度是递归调用的次数乘以每次调用的复杂度，即Θ(n² * log2(n))。简化这个表达式，我们得到Θ(n log2 n)。
所以，calc函数的运行时间复杂度是Θ(n log2 n)。因此，正确答案是C. Θ(𝑛 log2 𝑛)。

T14（0 分，概念错误）

要解决这个问题，我们需要理解什么是点双连通和边双连通。

1. 点双连通：如果图中不存在割点（即删除某个顶点后图不再连通），则该图是点双连通的。
2. 边双连通：如果图中不存在这样的边，其删除后图不再连通，则该图是边双连通的。
   对于给定的图 G，我们可以通过检查每个顶点或边来验证这些条件。

检查点双连通性

我们需要检查每个顶点，看是否删除它后图不再连通。这可以通过检查每个顶点的度（连接的边数）来完成。如果任何顶点的度大于1，则删除它不会导致图断开。

检查边双连通性

我们需要检查每条边，看是否删除它后图不再连通。这可以通过检查每条边是否属于某个环来完成。如果每条边都属于至少一个环，则删除任何一条边都不会导致图断开。
让我们首先检查点双连通性。

# 定义图 G 的顶点和边
vertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E']
edges = [('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'C'), ('B', 'D'), ('C', 'D'), ('C', 'E')]
# 计算每个顶点的度
degrees = {vertex: 0 for vertex in vertices}
for edge in edges:
    degrees[edge[0]] += 1
    degrees[edge[1]] += 1
# 检查是否存在度小于或等于1的顶点
point_biconnected = all(degree > 1 for degree in degrees.values())
degrees, point_biconnected

({'A': 2, 'B': 3, 'C': 4, 'D': 2, 'E': 1}, False)

顶点 A、B、C、D 和 E 的度分别是 2、3、4、2 和 1。由于顶点 E 的度是 1，删除它将导致图不再连通。因此，图 G 不是点双连通的。
接下来，我们检查边双连通性。为此，我们需要检查每条边是否属于至少一个环。如果每条边都属于至少一个环，则图是边双连通的。让我们进行这个检查。

from collections import defaultdict
# 创建图的邻接表表示
adj_list = defaultdict(list)
for u, v in edges:
    adj_list[u].append(v)
    adj_list[v].append(u)
# 检查每条边是否属于至少一个环
def has_cycle(node, visited, parent):
    visited[node] = True
    for neighbor in adj_list[node]:
        if not visited[neighbor]:
            if has_cycle(neighbor, visited, node):
                return True
        elif parent != neighbor:
            return True
    return False
edge_biconnected = True
for edge in edges:
    # 创建一个副本以避免修改原始图
    visited_copy = {vertex: False for vertex in vertices}
    if not has_cycle(edge[0], visited_copy, None):
        edge_biconnected = False
        break
edge_biconnected

True

每条边都至少属于一个环，因此图 G 是边双连通的。
综上所述，选项 B 和 C 是正确的描述。图 G 不是点双连通的（因为存在度小于或等于1的顶点），但它是边双连通的（因为每条边都至少属于一个环）。

T15（3 分）

要选择一个合适的哈希函数来存储元素 19, 53, 49, 114，并且避免哈希冲突，我们需要找到一个函数，能够将这些元素映射到不同的哈希值上。我们可以逐一尝试这些选项，看看哪个选项能够满足这个条件。

1. 选项 A: $ f(x) = x \mod 17 $
2. 选项 B: $ f(x) = \left\lfloor \sqrt{x} \right\rfloor $
3. 选项 C: $ f(x) = \left\lfloor 100 \lg x \right\rfloor $
4. 选项 D: $ f(x) = x^2 \mod 13 $
   我们将对每个选项进行计算，看看它们是否能将这四个元素映射到不同的哈希值。

# 定义元素
elements = [19, 53, 49, 114]
# 定义哈希函数
def hash_function_A(x):
    return x % 17
def hash_function_B(x):
    return int(x**0.5)
def hash_function_C(x):
    return int(100 * math.log10(x))
def hash_function_D(x):
    return x**2 % 13
# 计算每个哈希函数的结果
results_A = [hash_function_A(x) for x in elements]
results_B = [hash_function_B(x) for x in elements]
results_C = [hash_function_C(x) for x in elements]
results_D = [hash_function_D(x) for x in elements]
results_A, results_B, results_C, results_D

---------------------------------------------------------------------------
NameError                                 Traceback (most recent call last)
Cell In[1], line 20
     18 results_A = [hash_function_A(x) for x in elements]
     19 results_B = [hash_function_B(x) for x in elements]
---> 20 results_C = [hash_function_C(x) for x in elements]
     21 results_D = [hash_function_D(x) for x in elements]
     23 results_A, results_B, results_C, results_D
Cell In[1], line 20, in <listcomp>(.0)
     18 results_A = [hash_function_A(x) for x in elements]
     19 results_B = [hash_function_B(x) for x in elements]
---> 20 results_C = [hash_function_C(x) for x in elements]
     21 results_D = [hash_function_D(x) for x in elements]
     23 results_A, results_B, results_C, results_D
Cell In[1], line 12, in hash_function_C(x)
     11 def hash_function_C(x):
---> 12     return int(100 * math.log10(x))
NameError: name 'math' is not defined

出现了一个错误：在计算选项 C 的哈希函数时，我忘记导入数学模块。我将修正这个错误，并重新计算所有选项的哈希值。

import math
# 重新计算选项 C 的哈希函数
results_C = [hash_function_C(x) for x in elements]
# 再次输出所有结果
results_A, results_B, results_C, results_D

---------------------------------------------------------------------------
NameError                                 Traceback (most recent call last)
Cell In[2], line 7
      4 results_C = [hash_function_C(x) for x in elements]
      6 # 再次输出所有结果
----> 7 results_A, results_B, results_C, results_D
NameError: name 'results_D' is not defined

我注意到在之前的计算中，我没有定义选项 D 的哈希函数。我将重新定义这个函数，并计算所有选项的哈希值。

# 重新定义选项 D 的哈希函数
def hash_function_D(x):
    return x**2 % 13
# 重新计算所有选项的哈希值
results_A = [hash_function_A(x) for x in elements]
results_B = [hash_function_B(x) for x in elements]
results_C = [hash_function_C(x) for x in elements]
results_D = [hash_function_D(x) for x in elements]
results_A, results_B, results_C, results_D

([2, 2, 15, 12], [4, 7, 7, 10], [127, 172, 169, 205], [10, 1, 9, 9])

根据计算结果，我们可以看到：

1. 选项 A ($ f(x) = x \mod 17 $) 产生了冲突：19 和 53 都映射到了 2。
2. 选项 B ($ f(x) = \left\lfloor \sqrt{x} \right\rfloor $) 产生了冲突：53 和 49 都映射到了 7。
3. 选项 C ($ f(x) = \left\lfloor 100 \lg x \right\rfloor $) 没有产生冲突。
4. 选项 D ($ f(x) = x^2 \mod 13 \() 产生了冲突：53 和 114 都映射到了 1。 因此，为了避免哈希冲突，我们应该选择 **选项 C** (\) f(x) = \left\lfloor 100 \lg x \right\rfloor $) 作为哈希函数。

二、阅读程序（19.5 分）

(1) 判断题（4.5 分）

16. 错误。第15行输出的是 s1 == s2 的结果。由于 s1 和 s2 包含相同的元素，只是顺序不同，但在集合中元素的顺序不重要，因此它们相等，输出应为 1。
17. 正确。函数 intersection(a, b) 的时间复杂度主要取决于两个部分：较小的集合 a 或 b 的每个元素是否在较大集合中，这需要 O(min(p, q)) 的时间；以及 set 的 count 操作，这需要 O(log max(p, q)) 的时间。因此，总的时间复杂度是 Θ(min(p, q) log max(p, q))。
18. 错误。第32行使用 begin() 获取的是 mp1 的第一个元素，而 rbegin() 获取的是最后一个元素。由于集合的交集操作与集合中元素的顺序无关，所以无论从哪个元素开始，最终的结果应该是相同的。
19. 正确。在第33行中，auto 关键字用于自动推导 i 的类型，这里 i 是 map<set<int>, int> 的迭代器，其类型实际上是 pair<const set<int>, int>。将 auto 换成 pair<set<int>, int> 不会改变 i 的类型，因为 set<int> 会被自动转换为 const set<int>，所以运行结果不变。

(1) 单选题（3 分）

20. 输出的第二行是（ D ）。
    A. 0 0 0 B. 1 0 1 C. 0 1 1 D. 1 0 0
    解释：
    • 第18行，mp1 < mp2，比较两个 map 对象，由于 mp1 和 mp2 在此时尚未进行比较，因此结果为0。
    • 第19行，mp2[s3]，尝试获取 mp2 中 s3 对应的值，由于 s3 不在 mp2 中，所以返回0。
    • 第20行，mp1 <= mp2，再次比较两个 map 对象，结果同样为0。
21. 记所有输入的 l 之和为 L，则该程序最坏情况下的时间复杂度是（ C ）？
    A. Θ(𝐿 log 𝐿) B. Θ(𝐿 log2 𝐿)
    C. Θ(𝑛𝐿 log 𝐿) D. Θ(𝑛𝐿 log 𝑛 log 𝐿)
    解释：
    • 最坏情况下的时间复杂度主要取决于循环中的操作，特别是第30行的 mp1[tmp] = i; 这一步，它涉及到了 map 的插入操作。
    • 每次插入操作的时间复杂度是 O(log L)，因为 map 是基于红黑树实现的，插入操作需要维持树的平衡。
    • 循环总共执行了 n 次，每次循环中 l 个元素被插入到集合 tmp 中，然后再插入到 map 中，因此总的时间复杂度是 Θ(nL log L)。

(2) 判断题（0 分）

22. 错误。根据 functionUnknown 函数的实现，如果输入的数组 a 的长度 n 小于等于 1，函数将返回 0。在函数的 while 循环中，如果没有找到满足条件 a[i] < a[j] 的情况，且 i 递减到 0，函数将返回 0。因此，函数的返回值不可能为 -1。
23. 正确。当 k=1 时，函数 F 的实现将简化为返回 a[0]。因为 n 和 k 都是不超过 10 的正整数，所以输出的数值将是 a[0] 的整数倍。
24. 正确。第 34 行的代码初始化数组 b 为 [0, 1, 2, ..., m-1]。如果将 b[m - 1] = m - 1 改为 b[m - 1] = m，这将导致数组 b 的最后一个元素变为 m，而不再是 m - 1。这将影响 functionUnknown 函数的操作，因为它依赖于数组 b 中的元素顺序。因此，程序输出将会被改变。

(2) 选择题（6 分）

25. 在主函数中，findfa 函数被调用的次数与以下哪个选项同阶（ ）。
    A. Θ(𝑛!) B. Θ(𝑛! 𝑛)
    C. Θ(𝑛! 𝑛^2) D. Θ(𝑛! 𝑛^3)
    解答：选项 C. Θ(𝑛! 𝑛^2)。在主函数中，findfa 函数在处理排列组合时被调用。对于每个 m（从 1 到 n），程序生成所有可能的排列，并对每个排列调用 findfa 函数。对于 m 个元素的排列，有 m! 种可能的排列，而 findfa 函数在最坏情况下可能会被调用 m 次（每次调用可能需要递归查找父节点）。因此，总的调用次数是 Θ(1! + 2! + ... + n!)，这可以近似为 Θ(n! n^2)。
26. 对于以下的输入数据，输出结果为（ ）。
    5 5
    1 2 3 4 5
    A. 0 15 30 261 1500 B. 0 12 24 297 1788
    C. 0 15 30 477 2940 D. 0 15 30 864 5520
    解答：为了确定输出结果，我们需要运行给定的代码并输入数据。让我们使用 Python 来模拟这个过程并计算输出。

# To determine the output for the given input in question 26, we need to simulate the C++ code in Python.
# The C++ code calculates the sum of values of function F for each subset size m from 1 to n.
# The function F is defined as a polynomial function of the input array a and the size of the subset.
# We will replicate this logic in Python and calculate the output for the given input.
def findfa(u, fa):
    """Find the representative element of the set that u belongs to."""
    if u == fa[u]:
        return u
    fa[u] = findfa(fa[u], fa)
    return fa[u]
def functionUnknown(a, n):
    """Find the next permutation of array a."""
    if n <= 1:
        return False
    i = n - 1
    while True:
        j = i
        i -= 1
        if a[i] < a[j]:
            k = n
            while a[i] >= a[k - 1]:
                k -= 1
            a[i], a[k - 1] = a[k - 1], a[i]
            a[j:] = reversed(a[j:])
            return True
        if i == 0:
            a[:] = reversed(a)
            return False
def F(x, a, k, mod):
    """Calculate the polynomial function F."""
    ans = 0
    for i in range(k - 1, -1, -1):
        ans = (ans * x + a[i]) % mod
    return ans
# Input values
n, k = 5, 5
a = [1, 2, 3, 4, 5]
mod = 998244353
# Calculate the output
output = []
for m in range(1, n + 1):
    b = list(range(m))
    ans_m = 0
    while True:
        fa = list(range(m))
        res = m
        for i in range(m):
            u = findfa(i, fa)
            v = findfa(b[i], fa)
            if u != v:
                res -= 1
                fa[u] = v
        flag = 0
        for i in range(m):
            if b[i] == i:
                flag = 1
                break
        if not flag:
            ans_m = (ans_m + F(res, a, k, mod)) % mod
        if not functionUnknown(b, m):
            break
    output.append(ans_m)
output

[0, 15, 30, 477, 2940]

对于问题 26 的输入数据，输出结果为 C. 0 15 30 477 2940。

27. functionUnknown 的功能接近于 C++ STL 库中的以下（ ）函数。
    A. next_permutation B. prev_permutation
    C. is_sorted D. is_permutation
    解答：选项 A. next_permutation。functionUnknown 函数的功能是找到给定数组 a 的下一个排列，如果存在的话。这与 C++ STL 中的 next_permutation 函数非常相似，该函数也会生成给定序列的下一个排列。

(3) 判断题（3 分）

28. 错误。程序会输出数字。因为当 l 和 r 的值为 1 和 -1 时，i 的初始值为 1，但由于 i 是 unsigned 类型，它会从一个非常大的正数开始循环，直到达到 r 的值。在这个过程中，f(i) 可能等于 y，从而输出结果。
29. 正确。如果将第 14 行的 i 的类型改为 unsigned int，当 l 和 r 的值分别为 1 和 -1 时，i 将无法达到 r 的值，因为 unsigned int 类型的变量不能表示负数。这将导致循环无法结束。
30. 错误。对于某些输入，可能存在多个 i 的值使得 f(i) == y。例如，如果 f(i) 的结果对于某些 i 值是周期性的，那么可能存在多个满足条件的 i。

(3) 选择题（3 分）

31. 要确定 f(x) = g(x) 成立的概率，我们需要分析两个函数的结构。由于 f 和 g 都是通过对 x 进行位操作来定义的，我们可以通过比较它们的操作来分析它们是否相等。如果两个函数的位操作完全相同，那么它们在任何 x 值上都会产生相同的结果。如果操作不同，那么它们在某些 x 值上可能会产生不同的结果。
    f(x) 的操作是 x ^= x << 3; 和 x ^= x >> 5;，而 g(x) 的操作是 return (x >> 5) ^ (x >> 2) ^ x ^ (x << 3);。我们可以看到，f(x) 和 g(x) 都包含了 x >> 5 和 x << 3 的操作，但 g(x) 还包含了额外的 x >> 2 和 x 的操作。这意味着 f(x) 和 g(x) 在大多数情况下不会产生相同的结果。
    然而，由于 x 是 unsigned int 类型，它有固定的位数（通常为 32 位）。这意味着对于每个位，x >> 5 和 x << 3 的结果只有有限的可能性。因此，存在一种可能性，即对于某些特定的 x 值，f(x) 和 g(x) 的结果可能相同。但是，这种情况发生的概率非常低，因为 g(x) 包含了额外的操作。
    因此，f(x) = g(x) 成立的概率非常接近于 0，所以答案是 A. 0。
32. 要分析 fn(x) 的计算复杂度，我们需要考虑 f(x) 的操作如何影响 x 的二进制表示。f(x) 通过异或操作和位移操作来改变 x 的值。这些操作都是常数时间的，但是它们的效果可能会随 n 的增加而累积。
    由于 f(x) 的操作是局部的，并且不依赖于 x 的整体大小，我们可以假设 f(x) 的影响是有限的。这意味着 f(x) 的结果在经过有限次的迭代后可能会开始重复。这种重复性意味着 fn(x) 的计算不需要 n 次独立的操作，而可以在达到某个周期后重复之前的计算。
    因此，T(n) 可以是常数时间 Θ(1)，因为一旦我们确定了 f(x) 的周期，我们就可以通过模运算来快速计算 fn(x)。所以答案是 A. Θ(1)。
33. 要找出当输入为 50 1 4294967295 时输出的第一个数，我们需要运行程序并检查 f(i) 是否等于 50。由于这是一个具体的例子，我们可以通过编写代码来模拟这个过程并找出答案。

# 定义函数 f 和 g
def f(x):
    x ^= x << 3
    x ^= x >> 5
    return x

def g(x):
    return (x >> 5) ^ (x >> 2) ^ x ^ (x << 3)

# 输入值
y = 50
l = 1
r = 4294967295

# 查找满足 f(i) == y 的第一个 i 值
first_i = None
for i in range(l, r + 1):
    if f(i) == y:
        first_i = i
        break

# 计算 i % 11
first_i_mod_11 = first_i % 11 if first_i is not None else None
first_i_mod_11

10

所以答案是 D. 10。

三、完善程序（15 分）

(1) 最小垄断集（6 分）

这个问题是关于图论中的最小垄断集问题。我们需要找到一个子集 S，使得对于图 G 中的每条边 (u, v)，u 和 v 中恰好有一个在 S 中。这个问题可以通过 BFS（广度优先搜索）来解决。在 BFS 的过程中，我们需要标记访问过的节点，并检查每条边是否满足垄断集的条件。
现在我们来逐个分析填空的部分：

1. 这里需要检查节点 k 是否已经被访问过。如果已经被访问过，则应该跳过这个节点。因此，正确答案是 B. is[k] == 0。
2. 这里需要初始化一个计数器数组 cnt，用来统计不同状态的节点数量。在这个问题中，我们只需要知道节点是否在子集 S 中（状态 1 或 0），因此数组应该初始化为 {0, 0, 0}。所以，正确答案是 A. {0, 0, 0}。
3. 这里需要标记节点 to 的状态。根据题意，如果 q.front() 在子集 S 中，那么 to 应该不在 S 中，反之亦然。因此，正确答案是 B. 3 – is[q.front()]。
4. 这里需要检查是否存在一条边，其两个端点都在子集 S 中或都不在 S 中。如果存在这样的边，那么就不存在满足条件的子集 S。因此，正确答案是 A. is[to] == is[q.front()]。
5. 这里需要计算子集 S 中的节点数量。由于我们标记在 S 中的节点为状态 1，因此正确答案是 A. cnt[1]。

(2) 最长公共前缀（9 分）

思考：

1. 题目要求补全一个C++程序，用于计算给定字符串数组的最长公共前缀对的和。
2. 程序中使用了深度优先搜索（DFS）来遍历字符串，并计算最长公共前缀。
3. 需要根据程序逻辑和C++语法来选择正确的选项。

执行：

39. ①处填空：这里需要获取字符串s中第i个字符的ASCII码值，并将其转换为对应的数字（0-25）。正确选项是 D. s[a[i]][p] ? s[a[i]][p] - 'a' + 1 : 0。
40. ②处填空：这里需要将当前字符串的索引i存储在临时数组tmp中。正确选项是 A. tmp[ch][tail[ch]++] = a[i]。
41. ③处填空：这里需要计算当前字符的最长公共前缀长度，并将其累加到结果中。正确选项是 C. ans = (ans + 1ll * (p + 1) * tail[j] % mod) % mod。
42. ④处填空：这里需要递归调用DFS函数，以继续搜索下一个字符。正确选项是 A. ans = (ans + dfs(pos + 1, pos + tail[i], p + 1)) % mod。
43. ⑤处填空：这里需要调用DFS函数开始搜索。正确选项是 B. dfs(1, n, 0)。