【图论】树上启发式合并 学习笔记

DSU on Tree

启发式算法

启发式算法是基于人类的经验和直观感觉（），对一些算法的优化。
比如并查集的启发式合并，每次把小的集合合并到大的，这样复杂度显然优于把大的合并到小的。
再经过严谨证明，许多诸如此类的优化可以把时间复杂度降低层级。

树上启发式合并

先看下面这道例题：

CF600E Lomsat gelral

题意：求出一棵有根树每颗子树所有出现最多颜色其编号的和。
先考虑暴力做法：对于每一颗子树，暴力数出其各颜色出现次数。时间复杂度 \(O(n^2)\)。
考虑对子树对父节点的影响：在上述暴力过程中，子树的颜色可以直接合并到父节点上，所以就有下面两种做法：

1. 树链剖分。对原树进行重链剖分，直觉上，每次保留重子节点的信息，重新计算其他轻节点的信息可以优化时间复杂度；事实上，由重链剖分的结论可知，任意节点走到根节点最多经过 \(O(\log n)\) 条轻边。所以总的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)。
2. 按集合大小启发式合并。对于每个节点，用一个 map 存储其子树内信息。通过深度优先搜索合并集合（深度大的子树计算完后信息就无用了，若集合大可以 swap 到父节点）。每次合并集合大小会翻倍，所以合并插入的次数是 \(O(n \log n)\)，总的时间复杂度是 \(O(n \log ^ 2 n)\)。

上面两种做法的代码实现：这里。